Числення педикантів

У логіці предикатів, на відміну від логіки висловлення, немає ефективного способу для розпізнавання загальнозначущості формул. Тому аксіоматичний метод стає істотним при вивченні формул, які містять квантори. Визначення загальнозначущих формул, так само, як і в численні висловлень, здійснюється заданням деякої сукупності формул, що називаються аксіомами, і заданням правил виведення, що дають змогу з одних загальнозначущих формул одержувати інші.

На відміну від загальноприйнятого викладу, розглянемо деяку вузьку аксіоматичну теорію, яку також називатимемо численням предикатів.

Означення 1. Числення предикатів — це аксіоматична теорія, символами якої є взагалі ті самі символи, що й у логіці предикатів:

• символи предметних змінних х₁, х₂, ..., х_т, ...;

• символи предикатів

• логічні символи

• символи кванторів ;

• дужки й кома (,).

Сформульоване означення формули поширюється також для числення предикатів з тією лише різницею, що тут застосовується тільки два логічних символи ; інші зв'язки можна ввести, наприклад, так, як це зроблено в численні висловлень.

Аксіоми числення предикатів. Які б не були формули А та В, такі формули є аксіомами (при цьому не має порушуватися означення формули):

А1.

А.2

А.3.

А4. , де формула не містить змінної

А5. , де формула не містить змінної .

Правила виведення предикатів (при цьому не повинно порушуватися означення формули):

1. Правило m.p.

2. Правило зв'язування квантором загальності , де формула В не містить змінної .

3. Правило зв'язування квантором існування , де формула В не містить змінної

4. Правило перейменування зв'язаної змінної. Зв'язану змінну формули А можна замінити (в кванторі й у всіх входженнях в області дії квантора) іншою змінною, яка не є вільною в А.

Поняття виведення, теореми, виведення з системи гіпотез визначаються численні предикатів так само, як і в будь-якій аксіоматичній теорії.

Теорема (ослаблена теорема про дедукцію). Якщо й існує виведення в численні предикатів, побудоване із застосуванням тільки правила 1, то .

Ця теорема доводиться аналогічно теоремі про дедукцію в численні висловлень.

Можна показати, що клас усіх теорем числення предикатів збігається з класом загальнозначущих формул.

Твердження Аксіоми числення предикатів є загальнозначущими формулами.

Якщо числення висловлень дає змогу доводити теореми для внутрішніх потреб логіки, то числення предикатів забезпечує можливість описувати й доводити теореми для конкретних розділів математики. Логіка предикатів дає змогу формулювати співвідношення між елементами реального світу і виводити подібні відношення або теореми в математиці. Числення висловлень — досить вузька логічна система. Існують, наприклад, такі типи логічних міркувань, які не можуть бути здійснені в межах логіки висловлень:

• Кожний друг Івана є другом Петра. Сидір не є другом Івана. Отже, Сидір не є другом Петра.

• Просте число два — парне. Отже, існують прості парні числа. Коректність цих висновків ґрунтується на внутрішній структурі самих речень і значенні слів «кожний» та «існують».