Представлення булевих функцій за допомогою дднф

Визначення: Диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ) - це диз'юнкція кінцевого числа різних членів, кожний з яких являє собою кон'юнкцію кінцевого числа окремих перемінних чи їхніх заперечень, що входять у даний член не більш одного разу.

Визначення: Кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) - це кон'юнкція кінцевого числа різних членів, кожний з який являє собою диз'юнкцію кінцевого числа окремих перемінних чи їхніх заперечень, що входять у даний член не більш одного разу.

Приклад: у=х₁х₂х₂х₃х₄ ДНФ, у=(х₁х₂)(х₂х₃х₄) КНФ, у=х₁х₂х₂ (х₃х₄) не ДНФ і не КНФ.

Визначення: Члени ДНФ, що представляють собою елементарні кон'юнкції з  букв, називаються мінтермами к-го рангу. Члени КНФ, що представляють собою елементарні диз'юнкції з  букв, називаються макстермами к-го рангу.

Приклад: х₁х₂ - мінтерм 2-го порядку, х₂х₃х₄ - мінтерм 3-го порядку, (х₁х₂) - макстерм 2-го порядку, (х₂х₃х₄) - макстерм 3-го порядку.

Визначення: Якщо в кожнім члені нормальної диз'юнктивної чи кон'юнктивної форми представлені всі n перемінних (у прямому чи інверсному виді) від який залежить булєва функція, то така форма називається досконалою диз'юнктивною чи кон'юнктивною нормальною формою (СДНФ чи СКНФ – як термін).

Лема: Будь-яка булєва функція, що не є тотожно рівної нулю, має одну і тільки одну СДНФ. Будь-яка булєва функція, що не є тотожно рівній одиниці, має одну і тільки одну СКНФ.

Мінтерми СДНФ називають констітуєнтами одиниці. Макстерми СКНФ називають констітуєнтами нуля. Констітуєнта 1 звертається в одиницю тільки при одному відповідному їй наборі значень перемінних, котрий виходить, якщо всі перемінні констітуєнти прийняти рівними одиниці, а для всіх інверсій констітуєнти перемінні прийняти рівними нулю. Констітуєнта  звертається в нуль тільки при одному відповідному їй наборі значень перемінних, котрий виходить, якщо всі перемінні констітуєнти прийняти рівними нулю, а для всіх інверсій констітуєнти перемінні прийняти рівними одиниці.

Приклад: х₁х₂х₃х₄=110=1, х₁х₂х₃х₄=11=0

ДДНФ є диз'юнкцією констітуєнт , представляюча її булєва функція f(x₁, x₂,..., x_n) звертається в одиницю тільки при наборах значень перемінних, відповідних хоча б одній одиниці цих констітуєнт. На інших наборах ця функція звертається в нуль. ДКНФ є конъюнкцией констітуєнт , її булєва функція f(x₁, x₂,..., x_n) звертається в нуль тільки при наборах значень перемінних, відповідних хоча б одному нулю цих констітуєнт. На інших наборах ця функція звертається в одиницю.

Для завдання булєвої функції у виді ДДНФ записують диз'юнкцію констітуєнт “1” для всіх наборів перемінних, на яких функція приймає 1.

Для завдання булевої функції у виді ДКНФ записують кон'юнкцію констітуєнт  для всіх наборів перемінних, на яких функція приймає 0.

Таке представлення булевої функції називають аналітичним представленням у виді ДДНФ чи ДКНФ.

Приклад: Таблиця істинності, ДДНФ і ДКНФ булевої функції від трьох перемінних.

Таблиця 13.2.

X1	X2	X3	Y
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

у=х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃ – СДНФ,

у=(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃) - СКНФ

Для усюди визначеної булєвої функції ДДНФ і ДКНФ рівносильні. Аналітичне завдання можливо й у ДНФ, КНФ, тупікових і інших формах.