Булеві функції двох перемінних

n=2, число наборів 2²=4, число функцій - 2⁴=16

Таблиця 2.

Х1х2	у0 0	у1 	у2 	у3 х1	у4 	у5 х2	y6 	у7 	y8 	у9 	у10 х2	у11 	у12 х1	у13 	у14 	У15 
00	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
01	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
10	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
11	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

З приведених функцій шість функцій не залежать від х₁, чи х₂, чи обох разом. Це у₀=0 - константа нуля, у₁₅=1 - константа одиниці, функції повторення у₃=х₁ і у₅=х₂, а також функції заперечення у₁₀=х₂ і у₁₂=х₁. Інші Булєви функції залежать від двох перемінних. Частина з них має свої специфічні назви і широко використовуються в булевій алгебрі.

1. Булева функція кон’юнкції (логічного множення)

у₁=х₁х₂ чи у₁=х₁&х₂ чи у=х₁х₂ чи у=х₁х₂ чи у=х₁ і х₂.

Дану функцію називають логічним множенням, тому що її таблиця істинності збігається з таблицею множення для чисел  і , тобто дорівнює одиниці тільки при одиничних аргументах.

2. Булева функція диз'юнкції (логічного додавання)

у₇=х₁х₂ чи у₇=х₁х₂ чи у₇=х₁ чи х₂

Дана функція дорівнює одиниці, якщо хоча б один з аргументів дорівнює одиниці.

3. Булева функція додавання по модулі (нерівнозначності)

у₆ =х₁ х₂ чи у₆=(х₁ і х₂) чи (х₁ і х₂)

Дана функція дорівнює одиниці на незбіжних наборах х₁ і х₂

4. Булева функція еквівалентності (рівнозначності)

у₉ =х₁х₂ чи у₉=х₁х₂ чи у₉=(х₁ і х₂) чи (х₂ і х₁)

Дана функція дорівнює одиниці на співпадаючих наборах х₁ і х₂.

5. Булева функція імплікації (логічного проходження)

у₁₃=х₁х₂, читається, «якщо х₁, то х₂ », чи у₁₃= х₁ чи х₂

Дана функція дорівнює одиниці при х₁ рівному нулю і повторює значення х₂ при х₁ рівному одиниці. у₁₁=х₂х₁, читається «якщо х₂, то х₁»

6.Булева функція заперечення (заборони) імплікації

у₂=(х₁х₂) чи у₂=х₁ іх₂

В іншій інтерпретації цієї функції у₂=(х₁х₂), при цьому ліва і права стрілки розуміються однаково, тобто х₁х₂ = x₂x₁.

Дана функція дорівнює одиниці тільки при х₁ рівному 1 і х₂ рівному 0. Аналогічно, у₄=х₂х₁ у першій інтерпретації дорівнює одиниці тільки при х₂ рівному 1 і x₁ рівному 0.

7. Булева функція «стріла Пірса» (заперечення диз'юнкції)

у₈=х₁х₂ чи у₈= х₁ і х₂

Дана функція приймає одиничне значення тільки при нульових значеннях х₁ і х₂. У цьому зв'язку у₈ є запереченням диз'юнкції, у₈ =у₇ .

8. Булева функція «штрих Шеффера» (заперечення конъюнкции)

у₁₄=х₁х₂ чи у₁₄= х₁ чи х₂

Дана функція приймає одиничне значення, якщо хоча б х₁ чи х₂ дорівнює нулю. У цьому зв'язку у₁₄ є запереченням конъюнкции, у₁₄=у₁.

Принцип суперпозиції

Функцію f, що відповідає формулі F, називають суперпозицією функцій з множини функцій, а процес здобуття функцій з множини функцій – операцією суперпозиції.

При складенні логічного висловлювання із простих використовується принцип суперпозиції, тобто підстановка у функцію замість її аргументу інших функцій. Замість будь-якої змінної використовується як власне незалежна змінна, аргумент, так і змінна, що є функцією інших змінних. Цей принцип є правильним також у звичайній алгебрі. За допомогою принципу суперпозиції з двомісних мулевих функцій можна побудувати будь-яку булеву функцію.

Принцип суперпозиції дає змогу на основі трьох основних елементарних функцій(заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція) здобути складене логічне висловлювання, що описує функціонування цифрових систем і автоматів. Покажемо це стосовно кон’юнкції, диз’юнкції і інверсії.

Якщо F1 s F2 – формули, то (F₁&F₂), (F₁ F₂) – також формули.

При перетворенні формул використовуються такі операції:

• операція підстановки змінних;

• операція безповторної підстановки функцій.

Опис перемикальних схем з допомогою формул логіки висловлень.