Композиція та обернення відображень

Композиція /суперпозиція функцій /відображень в математиці — функція, побудована з двох функцій таким чином, що результат першої функції є аргументом другої.

Композиція функцій f: X → Y та g: Y → Z будується так: аргумент x з X застосовується до першої функції f, а її результат y з Yзастосовується в якості аргумента до другої функції g.

Наприклад, нехай функція висоти польоту літака від часу t задається як h(t), і концентрація кисню на висоті x задається функцією c(x). Тоді (c o h)(t) визначає концентрацію кисню біля літака в момент часу t.

Або нехай f(x)=x² і g(y)=sin(y), тоді (g o f)(x) = sin(x²).

Така композиція позначається в математиці як g o f: X → Z або (g o f)(x) = g(f(x)).

Композиція функцій є асоціативною, тобто, f o (g o h) = (f o g) o h.

Композиція функцій називається комутативною, якщо g o f = f o g.

Якщо Y⊂X, то можна ввести поняття власної композиції функції f, тобто:

• (f o f)(x) = f(f(x)) = f²(x)

• (f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f³(x)

• f o fⁿ = fⁿ o f = fⁿ⁺¹

Функція fⁿ також називається степенем функції f.

Композиція відображень

Нехай   і   - Два заданих відображення таких, що область значень першого відображення є підмножиною області визначення другого відображення. Тоді для всякого   однозначно визначається елемент   такий, що y = f (x) , Але для цього самого y однозначно визначається елемент   такий, що z = g (y) . Тобто, для всякого   однозначно визначається елемент   такий, що z = g (f (x)) . Іншими словами, визначено відображення h таке, що

h (x) = g (f (x)) для всякого   .

Це відображення називається композицією відображень f і g і позначається

• або   або   ,

• або   (Саме в такому порядку!), Що є найбільш вживаною.

Тема 2 . Елементи математичної логіки Рівносильність. Бульові функції та їх властивості.

Часто використовуваними є булєви функції заперечення у=х (унарная), конъюнкции у=х₁х₂ (бінарна), диз'юнкції у=х₁х₂ (бінарна).

Вираження, за допомогою яких задаються булєви функції, називаються логічними формулами, тобто логічні формули - це булєви перемінними, зв'язаними знаками логічних операцій. Більш складні, чим приведені вище, логічні формули виходять суперпозицією (заміщенням, підстановкою) вхідних у них перемінних іншими логічними формулами.

Приклад: Нехай у=х₁х₂, де х₁=а, х₂=bc, тоді в результаті суперпозиції у =аbc

Кожна формула визначає деяку булеву функцію. Її значення при різних значеннях перемінних можна визначити на підставі таблиці істинності для функцій двох перемінних.

Приклад: а=0, b=0, c=1, х₁=а=0=1; х₂=bc=01=0; у=х₁х₂=10=1

Дві булєви функції, як і формули, називаються рівносильними, якщо при будь-яких значеннях аргументів обидві функції приймають однакові значення. Рівносильні функції з'єднують знаком рівності.

Найбільш простим і найбільш важливим класом однорідних логічних функцій є клас двозначних- булевих функцій.

Визначення: Булєвою функцією називається однорідна логічна функція, що приймає значення з двоэлементної булевої множини В=0, 1 чи В=кривда, істина.

Тому що Булева функція - однорідна, то будь-який її аргумент приймає значення з В=0, 1 чи В=кривда, істина, область визначення булєвої функції від n перемінних (аргументів) множина слів довжини n. Загальне число всіляких двійкових наборів довжини n дорівнює 2ⁿ. Число всіляких булєвих функцій від n аргументів дорівнює 2^{2^n} (2^n – це два у ступені n).Будь-яка Булева функція може бути задана таблицею істинності (відповідності), у лівій частині якої перераховані всі 2ⁿ наборів значень перемінних, а в правій частині - значення функції на цих наборах.

Приклад: а) n=3, число наборів - 2³=8, число функцій - 2^{2^n}= 2⁸=256

б) n=5, число наборів - 2⁵= 32, число функцій - 2³²- 410⁹.

Булєви функції від однієї і двох перемінних докладно досліджені.

Булєви функції однієї перемінної

n=1, число наборів - 2¹=2, число функцій - 2²=4

Таблиця 1.

х	Y0	Y1	Y2	Y3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Y₀ і Y₃ - функції - константи (Y₀ - константа , Y_ - константа 1), що приймають постійні значення на всіх наборах аргументів. Функція ₁ повторює значення аргументу. Функції ₀, ₁, ₃ - тривіальні функції. Єдина нетривіальна функція - ₂, називається запереченням чи інверсією, тобто y_=x і читається як у₂ дорівнює не x.