3.6. Фактормножина за відношенням еквівалентності.

У § 2 фактормножина В/R множини В за відношенням R (R А В) була визначена як сукупність усіх перері­зів відношення R за елементами множини А:

В/R = {R_a | а А}.

Якщо ж R — відношення еквівалентності у множині A, то R А А, де А = F (R) = R_- = =R₊. Крім того, довільний переріз відношення R за елементами множини А є класом еквівалентності: R_a = [а] (а А). Тому у випадку відношення еквівалентності у множині А говорять про фактормножину множини А за відношенням R. Елемен­тами цієї фактормножини є класи еквівалентності за від­ношенням R:

A/R = {[а] | а A}, або A/R = {[а] | а М},

де M — сукупність таких елементів множини A, яким від­повідають різні класи еквівалентності. Наприклад, якщо R є відношенням еквівалентності з прикладу 1 (п. 5), то

А/R = {А₁, А₂, A₃} = { {1}, {2, 3}, {4, 5, 6} }.

Аналогічно, якщо А—сукупність усіх учнів певного класу, які одержали за контрольну роботу оцінку k, а R - відношення еквівалентності, що визначається умовою aRb тоді і тільки тоді, коли а A_k і b A_k, то

A/R = {A₂, A₃, A₄, A₅}.

Частково впорядкована та цілком впорядкована множина

Екстремальні елементи множин.

Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлене у відповідність певне число (номер елементу) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа.

Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їхнім порядком

Частково впорядкованою множиною   називається множина   з заданим на ній рефлексивним, антисиметричним татранзитивним бінарним відношенням   (називається — відношення нестрогого порядку).

За допомогою відношення   ми маємо змогу «порівнювати» елементи   На відміну від натуральних або дійсних чисел, у довільній частково впорядкованій множині можуть існувати елементи, які неможливо порівняти.

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане   відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів   і  виконується   чи 

Тобто, для   вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти

Цілком впорядкована множина — лінійно впорядкована множина, в якій для для кожної непорожньої підмножини існує найменший елемент відповідно до заданого порядку (див.Фундована множина).

Для цілком впорядкованих множин можна застосовувати трансфінітну індукцію для доведення тверджень для всіх елементів множини

Натура́льні чи́сла — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, … Множину натуральних чисел прийнято позначатизнаком 

Існують два основних підходи до означення натуральних чисел:

• числа, що використовуються при лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є аксіоматичне описання системи натуральних чисел за допомогою аксіом Пеано.

• числа для позначення кількості предметів (відсутність предметів, один предмет, два предмети…) — підхід, прийнятий у роботахНіколя Бурбакі, де натуральне число означається як потужність скінченних множин; при такому підході, як правило, 0 відносять до натуральних чисел.

Від'ємні та дробові числа не є натуральними числами.

Множина натуральних чисел є нескінченною: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.