2. Перша схема дослідження бінарного відношення.

Досліджувати довільне бінарне відношення зручно за та­кою схемою:

а) знайти поле F (R) = R_ R₊ відношення R;

б) знайти перерізи відношення R за елементами мно­жини А (якщо R А х В) та фактормножину В/R мно­жини В за відношенням R;

в) побудувати таблицю відношення R;

г) зобразити відношення R за допомогою стрілок (якщо а містить скінченну сукупність елементів) та побудувати граф розглядуваного відношення;

д) побудувати графік відношення R.

1) Розглянемо відношення

R= {<x, y>|х2+y2 = 25, {x, у) Z}.

Це відношення зручніше записати так:

R = {<-5, 0>, <0, -5>, <-4, -3>, <-3, -4>,

<-4, 3>, <З, -4>, <-3, 4>, <4, -3>, <5, 0>, <0, 5>,

<З, 4>, <4, 3>}.

Тоді:

а)R_ = R+={-5,-4, -3, 0, 3, 4, 5}. Отже, F(R) = {-5, -4, -З, 0, 3, 4, 5};

б) R-5 = {0}, R-4 = {-3,3}, R-3 ={-4,4), Rо = {5}, R3={-4, 4}, R4=(-3, 3}, R5= {0}.

Тому

В/R={{0}, {-3, 3}, {-4, 4}, {5}};

в) таблиця відношення R має вигляд:

г)на мал. 16 розглядуване відношення зображено за допомогою стрілок, а на мал. 17 подано його граф;

д) графік відношення R зображено на мал. 18.

2) Нехай

R = {<х, у> [х] = [у]; х, у R},

де [x] — ціла частина числа х. Тоді:

1. R_-=R₊=R. Отже, F(R) = R = ]- , [;

2. якщо k x<k+1, де k-ціле число, то [х] = k

У такому разі <х, у> R лише тоді, коли [y] = k, тобто якщо k y < k + 1, або [х] y < [х] + 1. Отже, якщо х — фіксоване дійсне число, то перерізом відно­шення R за елементом х буде множина:

R_x=[[x], [x]+1[.

Тоді

B/R=R/R={R_x|x R}

тобто

R/R={[|x], [x] + 1 [|x R}

в) для окремих дійсних значень таблиця відношен­ня Н має такий вигляд:

г) множина R нескінченна, тому зображати її за до­помогою стрілок незручно;

д) графік розглядуваного відношення подано на мал. 19. У прямокутній декартові системі координат графіком відношення R є заштрихована область площини (разом з лівими і нижніми сторонами квадратів).

Зауважимо, що дослідження відношень за наведеною вище схемою (або навіть за окремими її пунктами) істотно сприяє з'ясуванню особливостей кожного розглядуваного відношення.

Вправи

3. Який вигляд має діагональ у множині А В, якщо А = {1, 2}, В = {a, b}? Дослідіть відношення .

4. Нехай А={2, 3, 4, 5, 6}. Домовимося вважати, що елемент а, b А перебувають у відношенні R, якщо а - b ділиться на 3 тобто

R= {<а, b>|а, b А, а — b 3}.

Випишіть елементи відношення R та проведіть його дослідження.

3. Відношення еквівалентності. Класи еквівалентності

3.1. Рефлексивні та антирефлексивні відношення. Бінарне відношення R називається рефлексивним у множині А = F(R), якщо довільний елемент а з множини F(R) = R- R+ перебуває у відношенні R сам із собою:

аRа (а F(R)).

Інакше кажучи, відношення R називається рефлексив­ним, якщо при будь-якому а із множини F(R) <а, а> R.

Наприклад, відношення

Q= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>} (1)

рефлексивне у множині А = {1, 2, 3}, але нерефлексивне у множині В= {1, 2, 3, 4}.

Рефлексивним у довільній множині А є, очевидно, уні­версальне відношення U=А А. Справді, у цьому ви­падку R- = R+ = A, F(R) = R- R+= А і при будь-якому а з множини А <а, а> U. Порожнє відношення теж домовимося вважати рефлексивним.

Рефлексивними є, наприклад, такі відношення: рівності (=); не більше ( ); подільності ( ); рівносильності ви­словлювань ( ); паралельності (||); конгруентності ( ) та

подібності ( ) фігур тощо.

Нерефлексивними, очевидно, є відношення <, >, . Наприклад, довільна пряма не може бути перпендику­лярною сама до себе ( ).

Зауважимо, що можна дати ще одне означення рефлексивного відношення, рівносильне попередньому: відношення R називається рефлексивним, якщо з аRb випливає аRа і bRb. Інакше кажучи відношення R називають рефлексивним, якщо з (а, b) R випливає (а, а) R і (b, b) R.

Відношення R називається антирефлексивним, якщо довільний елемент а із множини F (R) не перебуває у відношенні R сам із собою:

<а, а> R (а F (R)).

Наприклад, відношення

S = {<1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <1, 2>} (2)

антирефлексивне. Антирефлексивним є також відношення та ін. Порожнє відношення теж вважа­тимемо антирефлексивним.

Зауважимо, що те або інше відношення не обов'язково рефлек­сивне або антирефлексивне. Так, відношення

T = {<1, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 2>} (3)

не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.

Теорема 1. Відношення R рефлексивне тоді і тільки тоді, коли відношення R = U \ R, де U = = F (R) F (R), антирефлексивне.

Д о в е д е н н я. Якщо R = , то F (R) = . Тому R = \ = , Отже, якщо відношення R = , то згідно з домовленістю R = антирефлексивне.

Нехай тепер R . Якщо при цьому R = U, то R = і, отже, антирефлексивне.

Нехай, нарешті, R і R U. Тоді R . При­пустимо, що <а, а> R. Тоді <а, а> R. А це суперечить рефлексивності відношення R. Оскільки F (R) F (R) (R U = F (R) F (R)), то при будь-якому а F (R) <а, а> R. А це й означає, що відношення R антирефлексивне.

Навпаки, нехай відношення R антирефлексивне і R . Тоді R U, бо відношення U рефлексивне, а R — анти­рефлексивне. Припустимо, що а F (R) і <а, а> R. Тоді <a, a> R. Це суперечить антирефлексивності відношення R. Отже, при будь-якому а F (R) <а, а> R. А це означає що відношення R рефлексивне.

З а у в а ж е н н я Взагалі, якщо не робити обмежень щодо множин U доведена теорема не справджуватиметься. Нехай, наприклад:

U = A A = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}

і

R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <2, 2>}.

Тоді

R = {<1, 3>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Отже, відношення R рефлексивне, тоді як відношення R не є ні рефлексивним (наприклад, 2 F (R), але <2, 2> R}), ні антирефлек­сивним (наприклад, 3 F (R) і <3, 3> R).

Щодо поширених і важливих для застосувань відношень (наприк­лад, =, <, ||, ,...), то для них, як правило, U = F (R) F (R).

Приклади. 1) Якщо відношення (1) (див. стор. 45) рефлексивне у множині А = {1, 2, 3} (А = = F (Q))> то від­ношення

Q = {<1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 2>}.

антирефлексивне.

2) Якщо aRb означає, що а b, то аRb означає, що а > b у причому відношення R = ( ) антирефлексивне, тоді як R = (>) антирефлексивне.

3) Якщо антирефлексивне відношення, то рефлексивне (довільна пряма а не перпендикулярна сама до себе і, отже, перебуває у відношенні сама із собою).

3.2. Симетричні і антисиметричні відношення. Бінарне відношення R називається симетричним, якщо з аRb випливає bRа. Отже, якщо відношення R симетричне і елемент а перебуває у відношенні R з елементом b, то елемент b теж перебуває у відношенні R з елементом а. Наприклад, відношення S і Т (рівності (2) і (3)) симет­ричні, тоді як відношення Q (рівність (1)) несиметричне. Симетричними є також відношення =, , ||, , , , U, та ін.

Відношення <, , , несиметричні.

Теорема 2. Відношення R симетричне тоді і тільки тоді, коли симетричним є відношення R.

Д о в е д е н н я. Нехай відношення R симетричне і <а, b> R. Тоді <а, b> R. Із симетричності відношення К випливає, що впорядкована пара <b, а> теж не належні множині R, тобто <b, а> R. Отже, відношення R симетричне.

Навпаки, якщо відношення R симетричне, то симетричним є і відношення (R) = R = R.

З доведеної теореми випливає, що відношення симетричні, тоді як відношення несиметричні.

Бінарне відношення R називається антисиметричним якщо з аRb і bRа випливає, що b = а. Отже, якщо відношення R антисиметричне, то впорядковані пари <а, b> і <b, а> належать R лише тоді, коли а = b, тобто, якщо а b, то <а, b> R, або <b, а> R.

Наприклад, антисиметричними є відношення

R= {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}

і відношення (1) (див. стор. 45), тоді як відношення

H= {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>}

не відноситься ні до симетричних, ні до антисиметричних.

Очевидно, що антисиметричним треба вважати і по­рожнє відношення .

Антисиметричним є також відношення =, , <, , і, наприклад, відношення

R = {<а, b> | а b, а, b N}

(справді, якщо <а, b> R, то а b; якщо <b, а> R, то b а, а це можливо лише тоді, коли а=b). Зауважимо, що відношення

S = {<а, b> | а b; а, b Z)

вже не є антисиметричним, бо існують такі різні цілі числа а і b, що а b і b а (наприклад, а = = 2, b = -2).

З а у в а ж е н н я. Відношення =, є як симетричними, так і антисиметричними (упорядковані пари <а, b> і <b, а> можуть належати, наприклад, множині лише тоді, коли b = а). Отже, одне і те саме відношення R за певних умов може бути як симетричне так і антисиметричним (тобто сукупності симетричних та антисиметричних відношень можуть мати спільні елементи).

3.3. Транзитивні відношення. Бінарне відношення R називається транзитивним, якщо з аRb і bRс випливає аRс. Отже, якщо відношення R транзитивне і <а, b> R, <b, с> R, то впорядкована пара <а, с> теж належить множині R. Наприклад, відношення

R= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 4>, <2, 2>, <2, 4>, <4, 4>}

транзитивне. Транзитивними є також відношення <, , , , ||, , , одиничне ( ) та універсальне (U) відношення. Порожнє відношення теж відносять до транзитивних.

Нетранзитивними є, наприклад, такі відношення: , , .

3.4. Відношення еквівалентності. Бінарне відношення R називають відношенням еквівалентності, коли воно рефлексивне, симетричне і транзитивне. Якщо при цьому F (R) = А, то говорять, що й є відношення еквівалентності у множині А.

Наприклад, відношення

R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <2, 2>}

є відношенням еквівалентності. Відношеннями еквівалент­ності є також =, , ||, , , діагональне та універ­сальне відношення U = А А. Порожнє відношення теж, очевидно, є відношенням еквівалентності.

Приклад. Розглянемо ще один важливий приклад відношення еквівалентності. Визначимо у множині цілих чисел Z відношення R так:

R = {<а, b> | а Z, b Z; а - b т},

де т — фіксоване натуральне число. Отже, R Z Z і аRb означає, що а - b т. Тоді:

1. Відношення R рефлексивне. Справді, якщо а Я, то <а, а> R, бо а – а = 0 т.

2. Відношення R симетричне. Справді, якщо аRb, тобто а – b т, то b - а теж ділиться на т і, отже, bRа.

3. Відношення R транзитивне. Справді, нехай аRb і bRс, тобто а - b т і b - с т. Тоді а - с = = (а - b) + (b - с) т, тобто аRс.

Отже, відношення R є відношенням еквівалентності. Його називають відношенням конгруентності чисел (або просто відношенням конгруентності, якщо його не можна сплутати з відношенням конгруентності фігур) і замість аRb записують:

a b ( )

(читають: «а конгруентне з b за модулем т»).

Як відомо, відношення конгруентності відіграє важливу роль у теорії чисел. Легко переконатися, що число а конгруентне з чис­лом b за модулем т тоді і тільки тоді, коли в результаті ділення на т ці числа дають одну і ту саму остачу.

З а у в а ж е н н я. Якщо R є відношення еквівалентності, то за­мість аRb або <а, b> R записують:

a b (R)

(читають: «а рівносильне b за модулем R»).

Найпоширеніші відношення еквівалентності мають інші загально­прийняті позначення: а=b; а || b; (f (х) = 0) (g (х) = 0); Ф Ф₁; Ф Ф₁, а b ( ) тощо.

3.5. Класи еквівалентності. Нехай R {R А А) — від­ношення еквівалентності і а А. Переріз R_а відношення R за елементом а називають класом еквівалентності за від­ношенням R і позначають так: [а], або [а]_R. Отже, за означенням

[а] = R_a= (b | <а, b> R}.

Клас еквівалентності за відношенням R називають також R-класом еквівалентності або класом еквівалентності за модулем R, або просто класом еквівалентності, якщо виключена можливість двозначного тлумачення.

Отже, клас еквівалентності [а] містить усі такі еле­менти множини A, які перебувають у відношенні R з еле­ментом а.

Наприклад, якщо R є відношення паралельності в пло­щині а і — деяка фіксована пряма у цій площині, то клас еквівалентності [ ] містить усі прямі площини a, паралельні прямій :

[ ]-{q | q || , q а}.

Так, якщо пряма визначається рівнянням у = 2х + 3, тобто

= {<x, у> | у = 2х + 3},

То q [ ] тоді і тільки тоді, коли

q = {<х, у> | у = 2х + b, b R].

Зауважимо, що клас еквівалентності, якому належить певна пряма , називають напрямом цієї прямої. Отже, довільні прямі з одного і того самого класу еквівалентності мають однаковий напрям.

Аналогічно, якщо є відношення рівносильності і f(x) — певне рівняння, то відповідний клас еквівалентності [f (x) = 0] містить рівняння, рівносильні заданому. Наприклад, клас еквівалентності [(х - 1) (х - 2) = 0] містить рівняння

(x - 1)²(x - 2)⁵ = 0, (х - 1)(х - 2)²(|х| + 1) = 0

тощо.

Процес розв'язування рівняння f (х) = 0 полягає саме в тому, що це рівняння поступово замінюють простішими рівняннями з класу еквівалентності [f (х) = 0].

Приклади.

1. Класами еквівалентності за відповідними відношеннями є сукупності всіх фігур, конгруентних фігурі Ф, або подібних до неї, тобто множини

[Ф] = {F | F Ф}, [Ф] = {F | F Ф}.

2. Нехай R — відношення конгруентності у множині Z за модулем т = 5, тобто

R = {<а, b> | а - b 5, а, b Z.

Тоді:

У теорії чисел клас [k] цілих чисел, конгруентних з k за мо­дулем т, називають класом чисел за модулем т або класом лишків за модулем т і позначають через С_k.

Отже, [5] = [0]. Легко переконатися, що [6] = [1], [7] = [2], [83] = [3], [-83] = [2] і т. д.

Можна помітити, що довільні два класи еквівалентності або не мають спільних елементів ([1] [3] = , [2] [8] = ), або збігаються ([6] = [1], [7] = [2], ...). Доведемо, що ця властивість має загальний характер.

Теорема 3. Довільні два класи еквівалентності за віт ношенням R або не мають спільних елементів, або збігаються.

Д о в е д е н н я. Нехай [а] і [b] — довільні фіксовані класи еквівалентності за відношенням R. Припустимо, що [а] [b] , тобто класи [а] і [b] мають спільні елементи. Тоді [а] = [b]. Справді, якщо c [а] [b], то аRс і bRс. Якщо х — довільний елемент з класу [а], то хRа. Але відношення R транзитивне і симетричне. Тому з хRа, аRс і сRb випливає, що хRb, тобто х [b]. Отже, [а] [b]. Так само встановлюємо, що [b] [а]. А це й озна­чає, що [а] = [b] ■

Повернемося до останнього прикладу. Усього є 5 різ­них класів еквівалентності за відношенням R, наприклад [0], [1], [2], [3], [4] (або [-1], [2], [8], [11], [-10]), при чому, що легко бачити,

Z = [0] [1] [2] [3] [4] = .

Покажемо, що ця властивість теж має загальний ха­рактер.

Теорема 4. Довільну множину A, в якій задано відно­шення еквівалентності R, можна подати у вигляді об'єд­нання різних класів еквівалентності за відношенням R.

Д о в е д е н н я. Нехай {[а] | а М } — сукупність різних класів еквівалентності за відношенням R (так, у попе­редньому прикладі

М = {0, 1, 2, 3, 4} і {[а] | а М} = {[0], [1], [2], ]3], [4]}).

Покажемо, що

А = . (5)

Справді, якщо х А, то при деякому а А маємо: хRа (наприклад, хRх). Тому х належить до одного з класів еквівалентності за відношенням R: х [а]. Тоді х , тобто A . Включення випливає з того, що при довільному а М[а] А (довільний клас еквівалентності є підмножиною множини А). Це й доводить рівність (5). ■

Приклад.

Розглянемо відношення R, яке визначається у множині A = (1 2, 3, ..., 10} так: елемент а перебуває у відношенні R з елементом b, якщо а і b мають однакову кількість натуральних дільників. Кількість натуральних дільників числа п позначимо через (n). Тоді відношення R запи­шемо у вигляді:

R = {<а, b> | (а) = (b), {а, b} А).

Доведемо, що це відношення є відношенням еквівалентності

Справді, при будь-якому а А (а) = (а). Отже, аRа, тобто відношення R рефлексивне.

За означенням відношення R випливає, якщо <а, b> R, то (а) = (b). Але тоді <b, а> теж є елемен­том множини R. Це означає, що відношення R симет­ричне. Транзитивність відношення R обґрунтовується ана­логічно: якщо аRb і bRс, то (а) = (b) = (с), тобто (а) = (с). Це означає, що аRс

Отже, відношення R рефлексивне, симетричне і тран­зитивне, тобто є відношенням еквівалентності.

Випишемо тепер усі класи еквівалентності за відно­шенням R:

[1] = {1} [6] = {6, 8, 10},

[2] = {2, 3, 5, 7}, [7] = {2, 3, 5, 7},

[3] = {2, 3, 5, 7}, [8] = {6, 8, 10},

[4] = {4, 9}, [9] = {4, 9},

[5] = {2, 3, 5, 7}, [10] = {6, 8, 10},

Клас [6], наприклад, містить усі числа із множини A, що мають стільки натуральних дільників, скільки і число 6. Число 6 має чотири натуральні дільники (1, 2, 3, 6). Серед елементів множини А чотири натуральні дільники мають, крім числа 6, ще числа 8 (1, 2, 4, 8) і 10 (діль-

дільники 1, 2, 5, 10). Отже, лише числа 6, 8 і 10 перебувають у відношенні R з числом 6. Тому

[6] = {6, 8, 10}.

Виписані вище класи еквівалентності або збігаються ([2] = [3] = [5] = [7]), або не мають спільних елементів ([6] [7] = ). Різними класами еквівалентності серед записаних є, наприклад, такі: [1], [2], [4] і [6]. При цьому очевидно,

А = [1] [2] [4] [6].

Покажемо тепер, що довільне розбиття множини А на підмножини, що не мають спільних елементів, можна розглядати і як розбиття множини А на класи еквівалентності за певним відношенням R.

Теорема 5. Якщо А= , причому А_a А = при a , то довільна множина є класом еквіва­лентності за відношенням

R = {<а, b> | {а, b} А_a}

(тобто аRb тоді і тільки тоді, коли а, b A_a).

Д о в е д е н н я. Насамперед покажемо, що визначене в теоремі відношення R є відношенням еквівалентності. Справді, при будь-якому а А маємо: аRа (а є елементом якоїсь множини A_a). Отже, відношення R рефлексивне, причому F (R) = А.

Нехай тепер аRb, тобто а A_a, b A_a. Тоді, оче­видно, bRа. Отже, відношення R симетричне.

Транзитивність відношення R обґрунтовується анало­гічно: якщо аRb і bRс, то а, b, с A_a. Отже аRс, тобто відношення R, транзитивне.

Таким чином, R — відношення еквівалентності. Роз­глянемо тепер довільну множину A_a. Нехай а А_a. Якщо b A_a, то, за означенням відношення R, аRb, тобто b [а], де [а] — клас еквівалентності за відношенням R. Це озна­чає, що A_a [а]. Аналогічно, якщо х [а], то xRа, тобто x A_a. Тому [а] A_a. Отже, A_a = [а], тобто кожна з розглядуваних множин A_a є класом еквівалентності за відношенням R.

Приклади.

1) Нехай

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A₁ = {1} A₂ = {2, 3}, A₃ = {4, 5, 6}.

Тоді A = A₁ A₂ A₃, причому A_a A = , якщо a . Відношенням R, яке визначається попередньою теоремою, у розглядуваному випадку є множина:

R={<1, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 2>, <3, 3>, <4, 4>, <4, 5>, <4, 6>, <5, 4>, <5, 5>, <5, 6>, <6, 4>, <6, 5>, <6, 6>}.

Це відношення рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності і як легко переві­рити,

R = (A₁ A₁) (A₂ A₂) (A₃ A₃),

тобто відношення R можна подати як об'єднання декартових квадратів множин A₁, A₂ і A₃, які є класами екві­валентності за відношенням R.

Зауважимо, що і в загальному випадку відношення R, яке визначається теоремою 5, можна подати у вигляді об'єднання декартових квадратів множин A_a(а М):

.

Очевидно також, що множину A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} можна було б іншим способом розбити на підмножини (наприклад, A = A₁ A₂, де A₁ = {1, 3, 5}, A₂ = {2, 4, 6}). У результаті дістали б інше відношення еквівалент­ності S : S = (A₁ A₁) (A₂ A₂).

2) Нехай A — сукупність усіх учнів школи, в якій є n різних класів. Позначимо через A_a сукупність усіх учнів одного і того самого класу а. Очевидно, що коли а , то A_a A = .

Крім того, A = . Отже, одним з можливих способів розбиття усіх учнів школи на класи еквівалентності є розбиття їх за шкільними класами. Нехай запис аRb означає, що учні а і b належать до одного і того самого класу. R є відношенням еквівалентності, а класи - кла­сами еквівалентності.

Можна розглядати й інші розбиття множини учнів школи чи класу на класи еквівалентності. Так, через Ak можна позначити одну з таких сукупностей: усіх учнів класу, які одержали за певну контрольну роботу оцінку k(k=2, 3, 4, 5), які народилися в k-му місяці (k = 1, 2, 3, ... , 12), мають зріст k сантиметрів (k = 100, 101, ... , 200) або вік k років(k = 7, 8, 9, ..., 18) і т. д.

З а у в а ж е н н я. Якщо R — відношення еквівалентності у множині А, то, згідно з домовленістю (п. 4), це означає, що F (R)=A. Але для відношення еквівалентності R_- = R₊ (якщо а А, то <а, а> R. Отже, довільний елемент а А є і елементом множини R_-, і елементом множини R₊. Тому R_- = R₊ = А). Але тоді

F (R) = R_- R₊ = R_ = R₊ = А.

Отже, якщо R — відношення еквівалентності у множині A, то його можна розглядати як підмножину декартового квадрата множини А: R A A