Матриці суміжності графа

Занумеруємо всі вершини графа G натуральними числами від 1 до п. Матрицею суміжності А графа G називається квадратна п * n-матриця, в якій елемент a_ij i-го рядка та j-го стовпця дорівнює одиниці, якщо вершини v_i, та v_j з номерами i та j суміжні, і дорівнює нулю в іншому випадку.

Занумеруємо всі вершини графа G числами від І до п всі його ребра числами від 1 до т. Матрицею інцидентності В графа G називається

n*m матриця, в якій елемент b_ij i-го рядка і j-го стовпця дорівнює одиниці, якщо вершина v_i, з номером і інцидентна ребру e_j з номером j, і дорівнює нулю в іншому випадку.

Граф G = (V,Е) називається повним, якщо будь-які дві його вершини суміжні (тобто Е = V⁽²⁾). Повний граф з п вершинами позначають К_n.

Доповненням графа G = (V,Е) називається граф = (V, V⁽²⁾\Е); отже, граф має ту саму множину вершин V, що й граф G, а

будь-які дві вершини графа О суміжні тоді й тільки тоді, коли вони несуміжні в G.

Граф G = (V, Е) називається двочастковим, якщо існує таке розбиття множини його вершин V на дві підмножини (частки) V₁ і V₂, що кінці будь-якого ребра графа G належать різним часткам.

Двочастковий граф називається повним двочастковим, якщо будь-які дві його вершини, що належать різним часткам, суміжні. Повний двочастковий граф, частки якого V₁ і V₂ складаються відповідно з п і т вершин, позначають K_n,т.

Граф G = (V₁,Е₁) називається підграфом графа G = (V,Е), якщо і .

Важливими є підграфи, які можна отримати в результаті застосування до заданого графа операції вилучення вершини і/або операції вилучення ребра.

Операція вилучення вершини v із графа G=(V,Е) полягає у вилученні з множини V елемента v, а з множини Е — усіх ребер, інцидентних v.

Операція вилучення ребра е з графа G= (V, Е) полягає у вилученні елемента е з множини Е. При цьому всі вершини зберігаються.

Цикломатичне число

Нехай G = <X, V>- неорієнтований граф, у якому X = n, V = m і r – число компонентів зв’язності (тобто зв'язкових підграфів графа G).

Визначення: Цикломатичним числом графа називається число іпсилон 

(G) = m –n + r

Цикломатичне число має цікавий фізичний зміст - воно дорівнює найбільшому числу незалежних циклів у графі. При розрахунку електронних ланцюгів цикломатичним числом можна користатися для визначення числа незалежних контурів.

Приклад: Для приведеного на рис. 23.2. двохкомпонентного графа V(G) = 5-4+2 = 3

Р ис. 1 Двохкомпонентний граф з кількістю циклів, рівною трьом

Хроматичне число

Нехай р – деяке натуральне число.

Визначення: Граф називається р-хроматичним, якщо його вершини можна розфарбувати “р” різними квітами так, щоб ніякі дві суміжні вершини не були розфарбовані однаково.

Визначення: Найменше число р, при якому граф є р-хроматичним, називається хроматичним числом графа і позначається (G) /гама/.

Якщо (G) = 2, то граф називається біхроматичним. Необхідною і достатньою умовою біхроматичності графа є відсутність у ньому циклів непарної довжини. Визначення хроматичного числа графа, за винятком біхроматичного графа, є трудомісткою задачею.

П риклад: Для розфарбування лівого графа (рис. 23.3.) необхідно три кольори, для розфарбування правого – два кольори, тобто правий граф – біхроматичний.

Рис. 1. Не біхроматичний і біхроматичний графи