Другий модуль. Тема 3 Теорія графів

Категорії графів. Функціональні характеристики графів. Порядкова функція. Функція Гранді. Відношення на графах

Функція Гранді Нехай заданий орієнтований граф G (V, X) з безліччю вершин {v1, ..., vn}. Функція g (v), визначена на множині вершин графа g (v): V ® nз {0}, називається функцією Гранді графа, якщо для будь-якої вершини vi значення функції g (vi) = min [(nз {0}) \ {g (vj): vjОГvi}] Іншими словами, для будь-якої вершини vi значення функції Гранді g (vi) дорівнює найменшому з тих цілих невід'ємних чисел, які не належать безлічі значень функції Гранді для вершин з образу vi (Гvi). Затвердження Граф без контурів має функцію Гранді і притому єдиною. Доказ Розіб'ємо граф на рівні N0, ..., Nk. Якщо viОN0, то у неї немає вихідних дуг (за визначенням N0), отже g (vi) = 0. Якщо viОN1, то дуги з vi йдуть на рівень N0, де значення функції Гранді дорівнює нулю. Отже g (vi) = 1. Припустимо, що ми вже визначили значення функції Гранді для рівнів N0, ..., Nk-1. Визначимо значення функції Гранді для Nk. Нехай viОNk, тоді ГviН k-1 Ред j = 0 Nj З цього випливає, що для Гvi функція Гранді вже визначена. Тоді можна обчислити значення функції Гранді і для самої vi (за визначенням функції Гранді). Таким чином, ми определеии алгоритм отримання значення функції Гранді для кожної вершини графа, і причому єдиним чином.

Способи задання графів. Степені вершин

Нехай V— деяка непорожня скінченна множина, V⁽²⁾ — множина всіх двохелементних підмножин (невпорядкованих пар різних елементів) множини V.

Графом (неорієнтованим графом) G називається пара множин (V, Е), де Е— довільна підмножина множини V⁽²⁾ (Е V⁽²⁾}\ позначається

G = (V, Е).

Елементи множини V називають вершинами графа G, а елементи множини Е— ребрами графа О. Відповідно V називається множиною вершин і Е — множиною ребер графа G. Традиційно ребра записують

{v,w} за допомогою круглих дужок (v,w) (іноді просто vw).

Граф, який складається з однієї вершини, називається тривіальним.

Оскільки обидві множини V і Е скінченні, то одним зі способів задання графа О = (V, Е) є задання кожної з множин V і Е за допомогою переліку їх елементів.

Нехай задано граф G = (V, Е). Якщо (v,w) є Е, то кажуть, що вершини v і w суміжні, в іншому випадку вершини v і w несуміжні. Якщо е = (v,w) — ребро графа, то вершини v і w називаються кінцями ребра е. Кажуть також, що ребро е з'єднує вершини v і w. Вершина v і ребро е називаються інцидентними, якщо v є кінцем е.

Два ребра називають суміжними, якщо вони мають спільну вершину.

Степенем вершини v називається кількість ребер, інцидентних вершині v; позначається Вершина степеня 0 називається ізольованою, а вершина степеня 1 — кінцевою (або висячою).

Кубічним графом називається граф, степені всіх вершин якого дорівнюють 3.

Граф G = (V, Е) зручно зображати за допомогою рисунка на площині, який називають діаграмою графа G. Вершинам графа G ставлять в бієктивну відповідність певні точки площини; точки, що відповідають вершинам v і w, з'єднують лінією (відрізком або кривою) тоді й тільки тоді, коли v і w суміжні.