Тема 6. Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля.

2.Рівняння Максвела в інтегральній та диференціальній формах. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля

Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі того часу експериментальні факти і передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось пізніше.

Рівняння Максвелла пов’язують зміни основних характеристик електромаг­нітного поля - векторів , , , в даному матеріальному середовищі з розподілом у ньому електричних зарядів і струмів.

Середовище в рівняннях Максвелла враховується феноменологічно, тобто без розкриття внутрішнього механізму взаємодії речовин з полем.

В основі теорії Максвелла лежать чотири рівняння.

І. Електричне поле може бути як потенціальним , так і вихровим . Тому напруженість сумарного поля . Оскільки циркуляція вектора вздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, то циркуляція вектора сумарного поля

.

Це рівняння зв’язує значення із зміною вектора з часом і є виразом закону електромагнітної індукції.

Перше рівняння Максвелла вказує на те, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні з часом магнітні поля.

ІІ. Узагальнена теорема про циркуляцію вектора :

.

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватись або рухомими зарядами, або змінними електричними полями.

ІІІ. Теорема Остроградського-Гауса для потоку вектора електричного зміщення крізь довільну замкнену поверхню , що охоплює сумарний заряд :

.

Якщо заряд розподілений всередині замкненої поверхні з об’ємною густиною , то

.

IV. Теорема Остроградського-Гауса для магнітного потоку крізь довільну зам­кнену поверхню :

.

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі має такий вигляд:

, ,

, .

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:

, , .

Зазначимо, що до першого та чет­вертого рівняння Максвелла входять лише основні характеристики поля і , а в друге і третє – лише допоміжні величини і .

Рівняння Максвелла несиметричні відносно полів. Це зв’язано з тим, що в природі існують електричні заряди, а нема магнітних.

Для стаціонарних полів ( i ) рівняння Максвелла мають такий вигляд:

, ,

, .

В даному випадку електричні і магнітні поля існують незалежно одне від одного.

З а допомогою рівняння Максвелла для електромагнітного поля можна знайти співвідношення між тангенціальними і нормальними складовими векторів , і , на межі поділу двох різнорідних діелектриків. Якщо на межі поділу відсутні вільні заряди і струми провідності, то для тангенціальних складових – проекцій векторів , , , на дотичну площину – мають місце такі співвідношення:

, ,

, ,

а для нормальних складових – проекцій векторів , , , , на спільну нормаль до межі поділу двох середовищ:

, ,

, ,

де , , , - відносні діелектричні і магнітні проникності відповідно першого і другого середовищ.