4.6 Общая схема исследования функции

Считаем, что исследовать функцию – это означает:

1. Найти область существования (определения) функции;

2. Отметить (если они есть) особенности функции (периодичность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3. Исследование поведения функции в граничных и несобственных точках.

4. Указать вертикальные и горизонтальные асимптоты и найти наклонные асимптоты или убедиться в их отсутствии;

5. Найти участки возрастания и убывания функции, определить локальные и краевые экстремумы;

6. Определить наибольшее и наименьшее значения функции;

7. Найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, определить точки перегиба.

8. По результатам пунктов 1-7 исследований функции строится ее график.

Приведем краткие комментарии к каждому пункту схемы исследования функции 1-8.

1. Для нахождения области существования заданной функции, необходимо исходить из области определения основных элементарных функций (смотри §1).

2. Для определение периода, четности или нечетности функции смотри §1. Точки пересечения с осью определяются из соотношения . Точки пересечения с осью определяются из условия .

3. Если граничные точки области определения функции принадлежат ей, то нужно найти значения функции в этих точках. В некоторых случаях, область определения выглядит как объединение областей, т.е. граничными точками область определения функции разделяется на подобласти, поэтому также нужно найти значение функции во всех граничных точках подобластей, принадлежащих области определения (закрытые множества – отрезки). Если граничные точки не принадлежат области определения (открытые множества – интервалы), то нужно найти односторонние пределы (слева или справа от граничных точек) значений функций в этих точках, включая и несобственные точки и .

4. Для определения вертикальной, горизонтальной или наклонной асимптот смотри п.4.1, §4.;

5. Для определения интервалов возрастания и убывания функции воспользуйтесь утверждением 1 п.4.2, §4., чтобы определить локальные и краевые экстремумы воспользуйтесь замечанием 1 или утверждением 4 п.4.3, §4. Также нужно обратить внимание на замечание 2 п.4.3, §4 в случае, если в некоторой точки области определения производная не имеет смысла.

6. Для определения наибольшего и наименьшего значений функции воспользуйтесь п.4.4, §4;

7. Для определения интервалов, на которых функция выпукла вверх или вниз воспользуйтесь утверждением 5, п.4.5, §4. Вообще, чтобы точка была точкой перегиба, необходимо чтобы функция была дважды дифференцируема в окрестности этой точки (не обязательно в самой) и выполнение утверждений 6,7,8 п.4.5, §4, тогда только она является точкой перегиба, а в остальных случаях она не будет точкой перегиба. Поэтому для определения точек перегиба воспользуйтесь замечанием 3 п.4.5, §4.

8. Прежде чем строить график, сначала на декартовой системе координат укажите все точки (экстремума, перегиба, пересечения с осями со значениями, наибольшие и наименьшие значения). Затем нарисуйте асимптоты, если они есть. После, эскизы возрастаний и убываний с перегибами, где необходимо, а потом и сам график.

Примеры с решениями.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Согласно нашей схеме исследования приступим к решению.

1) Данная функция является элементарной, т.к. она получается из элементарных степенных функций как их отношение. Известно, что знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, т.е. . А это в свою очередь означает, что . Поэтому областью определения будет кроме точки или можно записать .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной. Покажем это,

Функция не является периодической. Покажем это,

,

отсюда видно, что , это в свою очередь показывает, что наша функция не является периодической.

Данная функция не сохраняет знака, т.к. при различных точках из области ее определения она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Определим точки пересечения функции с осями координат:

с осью : . Следовательно, точкой пересечения будет точка с координатами ;

с осью : при . Следовательно, точкой пересечения будет точка с координатами .

3) Точка не принадлежит области определения. Рассмотрим поведение функции в окрестности этой точки, т.е. найдем пределы при :

,

а также найдем пределы при :

4) Проверим, является ли прямая асимптотой графика функции при

т.к. односторонние пределы попарно совпадают, поэтому прямая является асимптотой графика функции (причем наклонной).

Аналогично проверяем, является ли при прямая горизонтальной асимптотой графика функции при , т.е.

в данном случае, как мы видим, пределы являются бесконечными, различными и , поэтому график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Вертикальной асимптотой графика функции будет прямая , т.к.

и .

5) Определим теперь интервалы возрастания и убывания функции, воспользовавшись утверждением 1, п.4.2. Для этого необходимо найти производную функции . Согласно правилу нахождения производной , имеем . Как мы видим решением уравнения являются точки . Производная в точке не существует, но также точка не принадлежит области определения, поэтому дополнительных исследований не обязательно (она не является ни точкой излома, ни точкой возврата).

Рисунок 2.

Далее, разделяем нашу числовую прямую этими точками и точкой , затем исследуем поведение функции (смотри рис.2), причем знак определяем у функции . Таким образом, из рисунка видно, что функция убывает только в интервале , а в интервалах возрастает.

Следует отметить, что точки , являются критическими точками функции. Из рисунка 1 видно, что производная меняет знак в точках . Т.к. не принадлежит области определения, то она не является ни минимумом, ни максимумом функции, а в точке наблюдается локальный минимум. Значение функции . Поэтому, точка с координатами является точкой минимума, или записывают .

6) Функция непрерывна на всем , кроме точки , поэтому говорить о наибольшем и наименьшем значении функции не имеет смысла, т.к. функция рассматривается не на конечном интервале.

7) Интервалы выпуклости будем искать, воспользовавшись утверждением 5.

Рисунок 3.

Имеем , решением которого будет точка . Как следует из утверждения 5,

функция в интервале выпукла вверх, а в интервалах выпукла вниз (смотри рис.3). Поэтому точкой перегиба является точка , что подтверждается также утверждением 8, т.к. , а .

Отметим еще очень важные замечания.

1. Хотя, согласно утверждению 2, точка должная быть точкой экстремума, т.к. , но это не так. Точка является критической точкой, но локального экстремума в ней нет. Здесь важно понимать, что не говорит о том, что точка экстремума, а вот если известно, что точка экстремума, то обязательно выполняется .

2. Если посмотреть на график (смотри рис.3), то можно подумать, что точка является точкой перегиба, но это не так, согласно определению, это точка локального минимума.

Данные этапы решения удобно представлять в виде таблицы 1.

Таблица 1

1	Функция График изображен на рисунке 4.
2	Область определения	.
3	Особенности	нет
4	Точки пересечения с осями координат	, .
5	Значения на границе, в точках разрыва и несобственных	,
6	Асимптоты	наклонная: , вертикальная: .
7	Интервалы	убывания: , возрастания: .
8	Экстремумы	.
9	Наибольшие и наименьшие значения	нет
10	Интервалы выпуклости	вниз: , вверх: .
11	Точки перегиба	.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

При рассмотрении следующего примера, мы уже не будем так расписывать решение, а заполним только таблицу.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Имеем

1	Функция График изображен на рисунке 5.
2	Область определения	.
3	Особенности	при , при
4	Точки пересечения с осями координат	, .
5	Значения на границе, в точках разрыва и несобственных
6	Асимптоты	нет
7	Интервалы	убывания: ; возрастания: , не существует и точка точка возврата (см.пример 15, §3).
8	Экстремумы	.
9	Наибольшие и наименьшие значения	нет
10	Интервалы выпуклости	вниз: , вверх: .
11	Точки перегиба	.

Примеры для самостоятельного решения на закрепление.

Задание. Исследовать функции и начертить их графики.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Примеры повышенной сложности.

Задание. Исследовать функции и начертить их графики.

11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.