§4. Исследование функций и построение графиков.

4.1 Асимптоты графика функции

Для того, чтобы прямая была асимптотой графика функции при (при ), необходимо и достаточно, чтобы

В случае горизонтальной асимптоты для того, чтобы прямая была горизонтальной асимптотой графика функции при (при ), необходимо и достаточно, чтобы

Если

или ,

то прямую называют вертикальной асимптотой графика функции .

Далее рассмотрим приложения дифференциального исчисления при исследовании и построении графика функции.

4.2 Условия возрастания и убывания функции

Напомним, что функцию на множестве называют возрастающей (неубывающей), если

,

и убывающей (невозрастающей), если

.

Если из неравенства следует строгое неравенство (соответственно ), то функцию называют строго возрастающей (соответственно строго убывающей) на множестве

Использовать данные определения для определения интервалов возрастания или убывания, достаточно сложно, т.к. необходимо будет рассмотреть все точки области определения функции. Поэтому для определения интервалов возрастания и убывания служит следующее утверждение.

Утверждение 1. Между характером монотонности дифференцируемой на интервале функции и знаком (положительностью) ее производной на этом интервале имеется следующая взаимосвязь:

		возрастает
		не убывает
		не возрастает
		убывает

Для определения интервалов возрастания или убывания нужно отметить на числовой оси точки, являющиеся решениями уравнения и исследовать знак функции в каждом интервале, разделенном этими точками и точками, которые не входят в область определения (точки разрыва).

4.3 Экстремумы функции

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство .

Если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство , то точка называется точкой строгого локального максимума функции .

Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то точка называется точкой локального минимума; если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство , то точка называется точкой строгого локального минимума.

Для краткости слово «локальный» часто опускают и пишут просто «точка минимума» или «точка максимума».

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Утверждение 2. (необходимые условия экстремума) Если точка является точкой экстремума функции , то либо , либо не существует.

Утверждение 3. (достаточные условия строгого экстремума с использованием первой производной). Пусть дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой

при и при .

Если же

при и при ,

то точка является точкой строгого минимума.

Замечание 1. На самом деле при нахождении (определении) экстремумов исследуется знак производной, т.е., если при переходе через точку (принадлежащая области определения) производная меняет знак, то экстремум есть (причем, если с «+» на «–», то точка строгого максимума; если с «–» на «+», то точка строгого минимума), а если ее знак при этом не меняется, то экстремума нет. Если же точка не принадлежит области определения, хотя производная меняет знак, она не является ни точкой минимума, ни точкой максимума.

Утверждение 4. (условия строгого экстремума с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно. Тогда, если

а

то при четном точка является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если и точкой минимума, если при нечетном экстремума в точке нет.

В частности, если

а

то в точке имеется строгий максимум в случае и строгий минимум в случае .

Замечание 2. В некоторых случаях не для всех точек из области определения существуют производные (смотри §3, п.3.3). Поэтому, чтобы определить для таких точек локальное поведение графика функции (т.е. являются ли эти точки точками излома или возврата), необходимо дополнительное исследование с помощью поведения касательных к графику функции в указанных точках (смотри §3, п.3.3).