Лекции по оптике и ядерной физике / Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

7

Л3-10

Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца. Первая попытка создать новую – квантовую – теорию ядра была осуществлена Н. Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу новой теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные круговые орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон имеет дискретные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

, (1) где – масса электрона, v – его скорость по n-й орбите радиуса .

Второй постулат Бора (правило частот). При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

, (2) где и – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами Франка и Герца. Схема их установки приведена на рис. В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~1 мм рт. ст.), имелись три электрода: катод К, сетка С и анод А. Термоэлектроны, вылетевшие из катода, ускорялись разностью потенциалов U, приложенной между катодом и сеткой. Между сеткой и анодом создавалось слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка 0,5 В), тормозившее движение электронов к аноду. В опыте исследовалась зависимость силы тока I в цепи анода от напряжения U между катодом и сеткой. Характерная для таких опытов вольтамперная характеристика приведена на рис.

Ход кривой можно объяснить следующим образом. При столкновении электрона с атомами ртути возможно взаимодействие двух типов: 1) упругое столкновение, в результате которого энергия электронов практически не изменяется, изменяется только направление движения; 2) неупругое столкновение электрона с атомом ртути. При этом энергия электронов уменьшается, за счет передачи ее атому ртути.

В соответствии с постулатами Бора атом ртути может поглотить энергию в виде порции и перейти в возбужденное состояние на выше расположенный энергетический уровень. Первому возбужденному состоянию атома ртути соответст­вует энергия 4,9 эВ. При U < 4,9 В электроны испытывают только упругое взаимодействие с атомами ртути и, поэтому, с увеличением напряжения анодный ток возрастает.

При достижении U  4,9 В энергия электронов сравнивается с энергией первого возбужденного уровня атома ртути. Происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, которые получают порцию энергии   4,9 эВ и переходят в возбужденное состояние. Электрон, потерявший энергию, не может преодолеть задерживающий потенциал. Поэтому при U  4,9 В происходит уменьшение анодного тока. Аналогичное явление наблюдается при U  24,9 В, U  34,9 Ви т.д., когда электроны могут испытывать два, три и т.д. неупругих столкновений с атомами ртути. Потеряв всю (или почти всю) энергию, электрон не сможет достичь анода, задерживающее поле отбросит его к сетке. В результате наблюдается падение тока при этих напряжениях и общий пилообразный ход вольтамперной характеристики.

Атомы паров ртути, получив энергию от электронов, переходят в возбужденное состояние, из которого спустя 10^–8 с самопроизвольно возвращаются в основное состояние. При этом должен излучается фотон с длинной волны 255 нм. В опыте действительно обнаруживается одна ультрафиолетовая линия с такой длиной волны. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтверждают постулаты Бора.

Теория водородоподобного атома по Бору. Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных ионов, состоящих из ядра Ze и одного электрона, и теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Рассмотрим движение электрона в поле атомного ядра. Уравнение движения электрона имеет вид

. (3) Исключив v из уравнений (1) и (3), получим выражение для радиусов допустимых орбит

. (4) Для атома водорода (Z1) радиус первой орбиты называется боровским радиусом. Его значение равно

. (5)

Полная энергия электрона в водородоподобном атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с ядром

(при ее получении использована формула (3)). Учитывая квантование радиусов (4), получим, что энергия электрона принимает дискретные значения

. (6)

Согласно второму постулату Бора при переходе атома водорода из состояния n в состояние m излучается фотон

, откуда частота излучения

. Таким образом, теория Бора приводит к обобщенной формуле Бальмера, причем для постоянной Ридберга получилось значение . При подстановке в это выражение значений универсальных постоянных получается величина, превосходно согласующаяся с экспериментальным значением постоянной Ридберга.

Теория Бора была крупным шагом в развитии теории атома. Она отчетливо показала, что процессы в микромире описываются не классическими, а иными, квантовыми законами.

Элементы квантовой механики

Волновые свойства вещества. В результате развития представлений о природе света выяснился его двойственный характер (дуализм). Одни явления могут быть объяснены в предположении, согласно которому свет представляет собой поток частиц – фотонов (фотоэффект, эффект Комптона). Другие – в предположении, согласно которому свет является волной (интерференция, дифракция).

В 1924 г. Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одного света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). Согласно де Бройлю, с каждой микрочастицей связывается, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны – волновые характеристики – частота  и волновой вектор k (). Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики, принимаются для частиц такими же, как для фотонов

, . (7)

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе (рис). Рассеяние электронов проявляет отчет­ливый дифракционный характер. Положение дифракционных максимумов соответст­вовало формуле Вульфа-Брегга, если длину волны электрона вычислить согласно (7).

В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П.С. Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Получен­ная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин.

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, необходимо было доказать, что волновые свойства связаны с электроном, а не являются коллективным эффектом. Это экспериментально установил В.А. Фабрикант. Он показал, что и в случае слабого электрического пучка, когда каждый электрон прохо­дит прибор поодиночке, дифракционная картина при достаточной экспозиции ничем не отличается от картины, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка.

Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение требует качественно нового взгляда на природу микрочастиц – микрочастицу нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Необычные свойства микрочастиц можно понять, если предположить, что вакуум является особым состоянием материи, а микрочастицы ее относительно неустойчивыми локальными состояниями. Неустойчивым в том смысле, что микрочастица регулярно растворяется в вакууме и через мгновенье вновь возникает где-то рядом. Аналогией вакууму может служить насыщенный раствор какого-либо вещества, а микрочастице имеющиеся в растворе кристаллики этого вещества. В состоянии динамического равновесия кристаллики в растворе хаотично растворяются и возникают. На характер растворения-возникновения микрочастицы влияет ее окружение. Несмотря на сложность и элемент случайности всего происходящего, поведение микрочастицы, как выяснится позже, можно успешно описать с помощью так называемой волновой функции.

Принцип неопределенности. В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Так как микрочастица не является частицей в классическом понимании, то ей, строго говоря, не могут быть приписаны указанные динамические переменные.

Данное обстоятельство проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению

. (8) Соотношение, аналогичное (8), имеет место и для y и , для z и , а также для ряда других пар величин (называемых канонически сопряженными). Соотношение (8) и подобные ему называются соотношением неопределенностей Гейзенберга. Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей

. (9) Это соотношение означает, что если время перехода системы из одного состояния в другое характеризуется временем t, то неопределенность энергии системы равна . Процесс измерения энергии сопровождается изменением состояния. Поэтому, неопределенность результата измерения E связана с длительностью измерения t (т.е. временем перехода системы из одного состояния в другое) соотношением (9).

Соотношение неопределенностей вытекает из волновых свойств микрочастиц (строгий формальный расчет лежит вне рамок данного курса). Поясним его на следующем примере. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной x, расположенную перпендикулярно к направлению их движения. При прохождении электронов за щелью наблюдается дифракционная картина, как в случае плоской световой волны. Основная доля электронов приходится на область центрального максимума.

До прохождения электроны двигались вдоль оси y, поэтому , а координата являлась совершенно неопределенной. Прохождение щели сопровождается изменением состояния электрона. В новом состоянии неопределенность положения по оси x задается шириной щели. Вследствие дифракции частица будет обладать импульсом, распределенным с близкими вероятностями в пределах угла 2, где  – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность

. Первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол , для которого

, где  длина волны де Бройля. Отсюда с учетом (7) получается соотношение

согласующееся с (8).

Основные понятия квантовой механики. Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма стимулировали развитие квантовой теории, которое привело к созданию законченной теории.

Прежде всего, следует дать физическую интерпретацию волн де Бройля. С этой целью сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина световых волн образуется в результате интерференции вторичных волн. В свете волновых представлений, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям корпускулярной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифрак­ционной картины. Если принять, что число фотонов в данном месте (а для одного фотона вероятность обнаружения) пропорционально квадрату светового вектора, то два способа описания становятся согласованными и дополняющими друг друга.

Дифракционная картина для микрочастиц имеет сходный вид с дифракционной картиной световых волн. Наличие максимумов с точки зрения волновой теории соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн де Бройля коррелирует с числом частиц в данной точке пространства. Таким образом, напрашивается вероятностная, как для световых волн, трактовка волн де Бройля: вероятность обнаружения микрочастицы пропорциональна интенсивности волны де Бройля (квадрату модуля волновой функции).

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно описано с помощью волновой функции, в общем случае комплексной. В случае микрочастицы, не имеющей внутренних степеней свободы, эта функция имеет вид . Вероятность dP обнаружения микрочастицы в пределах объема dV

. В квантовой механике принимается, что волновые функции, отличающиеся только множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство позволяет ввести условие нормировки на пси-функцию

. Для нормированной пси-функции квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

.

По своему смыслу, волновая функция должна удовлетворять ряду так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной, непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на производные волновой функции.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , , …, , то она также может находиться в состоянии

, (10) где – произвольные комплексные числа.

Волновая функция  содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная , можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле

. (11)

В квантовой механике принимается, что измерение физической величины q даст некоторое значение . Совокупность или спектр возможных значений называются собственными значениями величины q. Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина q всегда имеет определенное значение , через . Волновые функции называются собственными функциями данной величины q. Каждая из этих функций предполагается нормированной

.

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , то в соответствии с принципом суперпозиции, она должна представлять собой комбинацию собственных функций в виде (10). Утверждается, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении будет получено соответствующее значение величины . Последовательно рассуждая, можно установить, что собственные функции взаимно ортогональны

. Зная вероятности различных значений величины q, ее среднее значение в состоянии  вычисляется по формуле

.

В квантовой механике вводится понятие оператора. Так называется матема­тическая операция, с помощью которой одной функции ставится в соответствие другая

, где – символическое обозначение операции (оператора). Оператор физической величины определяется посредством соотношений

(для всех n), где –собственное значение q. Свойство ортогональности собственных функций позволяет записать

. Формула (11) является выражением такого типа. Можно доказать, что оператор является эрмитовым

.