2.Все случайные ошибки сконцентрированы в переменной у.

3.Распределение случайных ошибок одинаково при любых значениях у.

Наличие 3^х ограничений превращает общий случай распределения в указанный на рис.1б.

Общее уравнение прямой на графике имеет вид : У_с = кХ+b (1)

Надо : Получить такие выражения для к и b , чтобы сумма квадратов отклонений переменной У от этой прямой была минимальной.

Пусть У_с – точное значение У при любых значениях Х. Тогда (У – У_с) – отклонение при любом значении Х.

Необходимо (согласно условиям) миминизировать Σ(У – У_с)² или Σ(У – kX – b)²

В этом случае должны выполняться следующие соотношения :

или (2) (3)

Если имеется п отсчетов, то уравнение (2) после дифференцирования имеет вид :

nb + kΣX = ΣУ (здесь db = nb,) (4)

а уравнение (3) имеет вид bΣX + kΣX² = ΣXУ (5)

Решая уравнения (4) и (5) как систему, находим:

и . (6) (7)

Если известно, что функция ХУ проходит через начало координат, то в этом случае b = 0 (в формуле (1) ) и получаем простое выражение для (8)

Подстановка в (6) и (7) экспериментальных данных и последующие вычисления утомительны и приводят к результатам, имеющим большие числа.

Некоторые упрощения вычислений с помощью двух несложных приемов:

1.Находим средние значения Х_т и У_т и выбираются преобразованные переменные Х¹=Х - Х_т и У¹=У-У_т . При этом начало координат временно переносится в центральную точку распределения. В этом случае ХУ и Х² сокращаются..

2.Проводится (на глаз) приближенная прямая, проходящая близко к исследуемой и с помощью этой прямой оцениваются приближенные значения двух постоянных А и В. При этом координаты приближенной прямой известны (в виде U= KХ+B (9)

где k и B нам известны. Из формул (1) и (9) получаем уравнение для разности (U – У) :

U – У = (K – k)X = (B – b) (10)

Обозначив (U – У)= У¹ , k¹ = (K-k) и b¹= (B-b) по формулам (6) и (7) рассчитываем коэффициенты k¹ и b¹.

Далее определяем : K = k –k¹ и b = B –b¹. Определяя значения двух точек : например

Х = 0 (Х = Х_min) и Х = Х_max , по ним строим прямую.

Пример : Проверяется зависимость снижения температуры в трубе парового отопления от ее длины.

При неизменных окружающих условиях получены следующие данные:

Изменение ΔТ˚С	5	7	15	20	22
Длина трубы Lм	4	8	12	16	20

Вопрос : Какого рода график можно построить на основе этих данных применяя метод наименьших квадратов и что можно сказать об этих данных в целом (как охарактеризовать)?

Решение: Допустим, что график функции имеет вид прямой, которую можно построить «на глаз» и найти приближенные значения К и В для подстановки в уравнение.

Определение температуры для всей трубы может привести к неудовлетворительной точности в оценке ΔТ^˚С в следствие наличия градиентов в любом заданном поперечном сечении. В то же время мы считаем, что значение L точно определено.

Приближенная прямая проведена на глаз с угловым коэффициентом, равным 1 для облегчения вычислений ( см. рис.15).

Рис. 15. Графическое изображение данных

На графике показаны: приближенная прямая __ __; наилучшая прямая, построенная методом наименьших квадратов ____.

Тогда уравнение прямой принимает вид: ΔU = KX + B = 1·L + 0, где U – температура ^˚С ,L – длина трубы (м)

Уравнение для разности (10) имеет вид : ΔU – ΔT = (1-k) L+ (0-b), т.к. для приближенной прямой k = 1; b = 0.

Для дальнейшего упрощения вычислений перенесем оси координат.

При этом ΔТ¹ = ΔТ – 12; ΔU¹= ΔU – 12; ΔL¹ = L – 12.

Полная таблица вычислений :

ΔT	L	ΔU=1·L	ΔТ1=ΔT-12	ΔU1= ΔU – 12	ΔL1 = L – 12	ΔU1 – ΔT1	(L1)2	L1(ΔU – ΔT1)
5 7 15 20 22	4 8 12 16 20	4 8 12 16 20	-7 -5 3 8 10	-8 -4 0 4 8	-8 -4 0 4 8	-1 1 -3 -4 -2	64 16 0 16 64	8 -4 0 -16 -16
n=5					ΣX = 0	ΣУ= -9	ΣХ2= 160	ΣХУ= -28

Применяя формулы (6) и (7) получаем : = - 1,8 ; b = 1,8

Эти численные значения были получены для преобразованной системы координат.

ΔТ – 12 =1,18(L - 12) +1,8 или ΔТ = 1,18L – 0,4.

Полученное уравнение – прямая на графике , построенная по данным, полученным способом наименьших квадратов.

Известно, что значение В должно быть равно нулю, а не 0,4.

Эта небольшая величина отрезка, отсекаемого на координатной оси , не должна быть причиной , чтобы считать полученные результаты неудовлетворительными.

В этом простом случае перенос координат осей и использование приближенной функции позволяют достаточно наглядно проиллюстрировать эти методы.

Поскольку принятая нами модель - бесконечная последовательность идентичных кривых нормального распределения , расположенных вдоль наилучшей прямой , задаем вопрос:

Каковы показатели точности этих нормальных распределений?

Среднеквадратическое отклонение: S² = , где х – отклонение произвольного отсчета относительно наилучшего значения.

Решение : Составим таблицу данных для каждой из 5 ^ти точек, куда запишем истинные значения (т.е. полученное методом наименьших квадратов) , а также измеренные значения

L	1,18L	ΔТнаим кв = 1,18L – 0,4	ΔТизмер	(ΔТнаим кв – ΔТизм )2
4 8 12 16 20	4,75 9,5 14,2 19,0 23,7	4,35 9,1 13,8 18,6 23,3	5 7 15 20 22	0,42 4,412 1,45 1,97 1,7

Σ = 9,96

Тогда = 1,56˚C

Если известно, что полученные точки образуют кривую и с помощью простых алгебраических преобразований нельзя получить линейный график, то методом наименьших квадратов необходимо подобрать некоторый многочлен с несколькими постоянными

Если случайную ошибку невозможно сконцентрировать в переменной У и она наблюдается как для переменной Х, так и для У, то необходимо применить более трудоемкий метод наименьших квадратов.

Если точность переменных Х и У меняется при изменении Х и У , то в разных частях области , определенной заданием, данные должны иметь различный вес . Правильная оценка весов (значимости) дает представление о том, каким образом происходит изменение точности.

Исследование функций графическими методами

Имея данные, которые в определенной системе координат могут быть представлены в виде прямой, надо найти ее уравнение. Такое уравнение обычно называется эмпирическим, т.е. его находят по эмпирическим данным, а не из теоретических соображений.

Основная задача эксперимента – выбор и преобразование системы координат т.о., чтобы полный набор данных давал по возможности прямую линию.

Если полученные данные не образуют прямой на графике, то можно попытаться построить график в логарифмических координатах ( или наносить логарифмы значений Х и Y на линейную графическую бумагу – миллиметровку).

В логарифмических координатах график простой функции Y = kX^a имеет вид прямой. (11)

Переходя к логарифмам получим: log Y = log k + a log X , (12)

где k и а – согласующие постоянные.

Полулогарифмическая графическая бумага - когда одна шкала логарифмическая, а другая – линейная. В этом случае получается прямая, если данные подчиняются закономерности Y = k(10)^аХ, которая идентична функции Y = k e^2,3026аХ.

После преобразования получим : log Y= log k + a X , (13)

и чтобы получить прямую по оси Y применяем логарифмическую шкалу, по оси Х – линейную.

Иногда применяется бумага специального вида (гиперболическая, с тремя осями координат). Однако в применении ее нет необходимости.

Например, гиперболическую функцию (14)

можно представить в виде прямой, построив в линейных координатах зависимость Х / Y = f (X) или 1/Y = f (1/ X).

В случае уравнения параболы, состоящего из 3^х членов возможны способы получения линейного графика :

1. Возьмем на кривой ,построенной по полученным данным , произвольную точку (Х₁ ; Y₁).Тогда У₁ = a + bX₁ + cX₁². Вычитая Y – Y₁ = b(X – X₁) + c(X² – X₁²) и разделив обе части уравнения на (Х –Х₁) имеем: (Y –Y₁) / (Х –Х₁) = b + c (X + X₁), где b + c X₁ - постоянная.

Если это уравнение удовлетворяет полученным данным , то график зависимости (Y –Y₁) / (Х –Х₁) от Х будет иметь вид прямой.

2. Дифференцируем уравнение (15) , получаем: dY/ dX = b = 2cX. Если значения берутся через равные интервалы, то график зависимости dY / dX от Х будет иметь вид прямой.

Наилучшая методика состоит в том, что : В начале данные наносятся на график в линейных координатах, затем через точки проводится плавная кривая. После этого выбирается наиболее подходящая функция и на кривой берутся произвольные точки для проверки соответствия принятой функции. Такая проверка (алгебраическая) проводится для всей области данных.

Способы построения линейных графиков

№	Функция	Преобразования
1	У = aX+b	В линейных координатах строится зависимость У от Х У= f(X)
2	У = kXn	На логарифмической бумаге строится зависимость У= f(X)
3	У = k (10)aX У = k℮aX	На полулогарифмической бумаге -«- зависимость У= f(X) (ось Х – линейная , У – логарифмическая)
4	У = X(a + bX) 1/У = a/ X +b	В линейных координатах строится зависимость 1/У = f (1/ X) или Х /У = f (X)
5	У = a + bX = cX2	В линейных координатах -« –зависимость (У –У1) / (Х –Х1) = f(X)
6	У = X / (a+bX) + c	В линейных координатах -« –зависимость (Х –Х1) /(У –У1) = f(X)
7	У = k(10)bX+cX У = k℮bX +cX	В линейных координатах -« –зависимость (log У -log У1) = f(X)

Неопределенность при графическом анализе

Вопрос при проведении эксперимента : каким образом миминизировать неопределенность при построении графика?

1.Один из общих принципов при построении графиков: минимальное деление шкалы графической бумаги должно соответствовать примерно вероятной ошибке измеряемой величины.

Если же вероятная ошибка равна 10 минимальным делениям , то может быть настолько большой разброс данных, что не удастся уловить основной характер кривой или установить закономерность ее изменения.

Если вероятная ошибка равна 0,1 наименьшего деления , все случайные отклонения сгладятся и будет невозможно получить какой-либо показатель точности.

Н аглядно эти случаи представлены на рис.16.

Рис.16. Зависимость Y от Х при разных масштабах по оси Y.

Предположим: вероятная ошибка в определении переменной Y составляет 0,01.

Согласно 1^му принципу: вероятная ошибка должна соответствовать наименьшему делению шкалы.

Средний график удовлетворяет этому требованию.

2.Второй принцип : данные следует представить в виде прямой.

Прямую легко подобрать на глаз или аналитическим способом

• Для нахождения уравнения прямой необходимо определить с помощью графика только две постоянные. Отклонение и разброс легче всего обнаружить на линейном графике.

• Применение экстраполяции для проверки соответствия данных упрощено в случае прямой.

• Вычисление статистических показателей (вероятная ошибка, среднеквадратическое отклонение и др.) значительно упрощается при линейном графике.

• Иногда при нанесении данных на график рекомендуется выбирать систему координат таким образом, чтобы получаемая прямая имела угловой коэффициент равный ~1.

• Случайные ошибки легко обнаружить в том случае , когда резко отклоняющаяся точка находится на максимальном расстоянии от наилучшей прямой.

• Необходимо использовать максимум бумаги графика по оси Y, а не стремиться к тому, чтобы ось Y = оси Х ( квадрат).

Математический анализ данных

Нет четкой границы между статистическим анализом и графическим, который в свою очередь не имеет ее от математического анализа

Метод наименьших квадратов позволяет получить математическое выражение кривой, которое находится чисто численными способами и имеет прочную статистическую основу.

Математические методы (численные методы) являются простыми , носят общий характер и используются многими исследователями.

Значащие цифры.

Значащие цифры несут информацию о значении измеряемой величины.

Пример: емкость конденсатора 0,213 мкф – известны 3 значащие цифры. Этот факт не изменится, если записать как 0,213·10⁶ф или 213000 пкф.

Число значащих цифр выбирается исходя из результатов анализа неопределенности.

Если неопределенность измерения составляет 10%, то в лучшем случае можно указать не более двух значащих цифр : такой отсчет , как 98 , означает , что результат заключен между 97 и 99. Но в то же время он может с вероятностью 10% находиться между 95 и 101. При неопределенности равной 1% можно указать 3 цифры , при 0,1% - 4 цифры и т.д.

При обработке данных ошибки определенным образом комбинируются.

Если допустить небрежность , можно потерять значащие цифры. Предположим : вес образца до испытаний на коррозию - 1,54кг, после испытаний – 1,52кг. Потеря веса – 0,02кг. При испытании 2^го образца потеря – 0,02кг. Сравнивая два результата ясно, что нужны весы , которые позволяют получить 4, а то и 5 значащих цифр.

Если имеем большой объем обработки данных с применением технических средств, то обычно в запасе необходимо иметь хотя бы одну значащую цифру.

Подбор эмпирической формулы по экспериментальным данным

Во многих экспериментах преобразование данных не позволяет получить линейный график и необходимо подбирать более общие функции , например :

Y = a + bX + cX² + dX³+…+nX^m. (1)

Если используем только 2 первых члена, то имеем общее уравнение прямой, если 3 – то имеем параболу, проверку которой проводят по данным таблицам (см. «Способы построения линейных графиков»).

Увеличивая число членов уравнения получаем более сложные кривые.

При подборе уравнения типа (1) на кривой выбирается столько точек, сколько постоянных должно быть определено, а затем решается система (п+1) уравнений. К сожалению при п =2 и более такой способ становится громоздким. Трудности возникают при решении с помощью определителей.

Н е зависимо от того, какой способ решения системы уравнений выбран (непосредственно или с помощью определителей), необходимо выбрать 2 –3 или большее число точек, чтобы подобрать наилучшую функцию.

Допустим, что для кривой (см. рис.17 ) необходимо подобрать уравнение при п = 3.

Левая часть кривой с непрерывно убывающим наклоном представляет собой функцию простого вида, а правая имеет точку перегиба. Т.о. можно предположить, что подобрать уравнение для правой части кривой труднее, поэтому возьмем больше точек на этом участке.

После того, как будет найдено уравнение для п = 3, надо проверить остальные точки, чтобы убедиться в том, что получено удовлетворительное соответствие для всей кривой.

Рис.17. Кривая для подбора уравнения

Если получено недостаточно хорошее соответствие, то подбираем 4 другие точки или перейти к уравнению для п = 4.

Если кривая проходит через начало координат, то постоянная а в формуле (1) равна нулю и система будет иметь на одно уравнение меньше (либо порядок определителей будет на единицу меньше).Такой результат получается переносом координат (см. рис.18).

В системе координат (Х ¹, Y ¹) имеем: Х¹=Х –Δх ; Y¹ =У – Δу

Если имеем многочлен 2^ой степени Y = a + bX = cX², (2)

то уравнение имеет вид : Y- Δу = a¹+b¹(X-Δx)+c¹(X-Δx)². (3)

Рис.18 . Пример переноса координат

После определения b¹ и c¹ и учитывая, что постоянная а в системе координат (Х ¹, Y ¹) равна 0, можно соотношение (3) преобразовать и вернуться к первоначальной системе координат :

Y = Δу – b¹Δx + c¹(X ²- 2XΔx) или: Y = Δу – b¹Δx + c¹Δx² + X(b¹ - 2Δx) + c¹X ².

Такие преобразования всегда удобны, но многочлен, имеющий более 3^х постоянных, трудно подобрать при вычислении в ручную.

Пример: Имеем зависимость анодного тока от анодного напряжения в триоде при постоянном напряжении на сетке, равном 5в ( зависимость в форме кривой представлена на рис.19.

Найти : Уравнение этой кривой.

Р ешение : На кривой отсутствуют максимумы или явные перегибы. В этом случае кривой может соответствовать многочлен 2^го порядка.

Переносим начало координат в точку (20;0). Получаем V ¹ = V-20 и I ¹ = I.

В этом случае a¹ = 0. Тогда 1¹ = b¹(V-20)+ c¹(V-20) (cм. формулу (2)).

На кривой можно выбрать 2 точки с одинаковыми приращениями координаты У. Однако, понимая, что в нижней части кривая имеет большую кривизну и здесь труднее подобрать уравнение. Выбрав 2 точки (V = 90 и 1= 50) и (V = 170 и 1= 200), найдем b¹ и c¹.

Рис.19. Зависимость анодного тока от анодного напряжения в триоде

Получаем уравнения : 50 = b¹ · 70 + c¹ · 70 ² ; 200 = b¹ · 150 + c¹ · 150 ²

Решая уравнения, получаем: b¹=0,171 ; c¹ = 0,007. Далее : I = 0,171(V-20) – 0,007(V ²- 40V+400),

Следовательно уравнение данной кривой имеет вид : I = 0,007V ² – 0,137V –0,33.

Для проверки соответствия полученного уравнения находятся значения I при различных значениях V. Полученные значения нанесены на график при V = 40, 80, 120, 160в.

Предсказанная величина I на 1та больше на нижнем конце кривой и на 2 та меньше на верхнем. Эта ошибка не превышает 2%.

Ошибку можно уменьшить, подобрав кубическое уравнение Y = a + bX + cX ² + dX ³.

Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция – вычисление величины , которая находится между 2^мя известными величинами с использованием коэффициентов.

Экстраполяция – распространение выборочных данных на другую ее часть.

Если точки на плоскости Х ,У образуют плавную кривую, то графики можно использовать для интерполяции данных с большой точностью

Интерполяция особенно важна при проведении факторного^* эксперимента, когда невозможно определить необходимые промежуточные значения.

*Однофакторный – одна независимая (или регулируемая) переменная Х и зависимая У.

Многофакторный – две или более регулируемые переменные

Допустим, что при проведении эксперимента получены точки (Х₁ , У₁), (Х₂ , У₂),…, (Х_п , У_п).

Требуется : найти У при значении Х (не установленное).

Применим интерполяционную формулу Лагранжа, которая для нашего случая имеет вид :

(4)

Пример : При испытаниях ДВС получены следующие данные:

Нагрузка на ДВС – F кг	22 (Х3)	66 (Х2)	87,5 (Х1)	44
Расход горючего q кг/час	8,2 (У3)	17,5 (У2)	25,.5 (У1)	11,9

Предположим: сомнение по данным при F = 44кг.

Вопрос : Какой расход горючего может предсказать формула Лагранжа?

Решение : = 11,66

Отсчет в эксперименте равен 11,9.

Если нанести указанные 3 точки на график и провести через них плавную кривую, то получим значение, лежащее в интервале от 11,4 до 11,5.

Преимущество математического метода состоит в том, что он может применяться автоматически и в последствие его можно продублировать каким-либо другим методом для получения точного интерполированного значения

Формула Лагранжа дает приемлемую точность , если берется не слишком большой интервал экстраполяции. Этот метод предпочтительнее графической экстраполяции осуществляемой на глаз.

Методы экстраполяции во многих случаях сходны с методами интерполяции.

Дифференцирование и интегрирование

Важным преимуществом формулы в отличие от графиков, таблиц и статистических данных является то, что они допускают проведение различных математических операций.

Подобрав общее уравнение для кривой, можно с успехом применять дифференцирование и интегрирование.

Пример : Батарея конденсаторов имеет эффективную емкость 1000мкф и должна заряжаться через сопротивление 1000ом до напряжения постоянного тока 1000в. Резистор сопротивлением 10000ом помещен в водяной калориметр для измерения на нем энергии Постоянная времени RC равна 10 сек. Было проведено несколько измерений напряжения на конденсаторе и на резисторе :С= f(t) и R=f(t). Результаты нанесены на график (полулогарифмическая бумага).

С помощью соответствующих преобразований определены (получены0 следующие функции:

e_R =E℮^{- t / RC} и e_C = E(1-℮^{- t / RC}); где : e_R – напряжение на резисторе; e_C –напряжение на конденсаторе; t – время от момента включения в в цепь ; Е – приложенное напряжение (1000в);

R – сопротивление резистора (10000ом); С – емкость конденсатора (1000·10^-6ф).

Количество энергии. накапливаемое на резисторе равно : , а общее количество энергии , рассеиваемое на резисторе за бесконечное время (t→∞), равно :

,после интегрирования

И, окончательно, общая энергия равна

При заданных величинах общая энергия равна N = 0,5·1000·10 ^-6 ·1000 ²= 500дж = 119,5кал.

(для сведения: фарада = (кулон)² / джоуль)

В данном эксперименте через резистор сопротивлением 10000 ом будет протекать ток равный 1000ф /10000 ом = 0,1 А. и поэтому резистор может быть небольшим.

Если калориметр , в который помещен резистор, содержит 30 г воды , то ее температура увеличится на 2,8˚с и можно вычислить количество накопленной энергии.

Математический анализ экспериментальных данных будет наиболее успешным, если исследователь имеет некоторое представление о том , что можно ожидать и в каком направлении следует двигаться.

Если не знать , что (e²_R / R)dt представляет собой мгновенное значение энергии, рассеиваемой на конденсаторе , то он не может правильно выполнить интегрирование ; с другой стороны , маловероятно , что дифференцирование кривой e = f(t) принесет какую-либо пользу , если в эксперименте есть какая ни будь ошибка.