1.Случай ошибки типа суммы.

1.1.Предположим, что переменная A имеет ошибку A + f(A),а другие измерены точно.

Тогда относительная ошибка имеет вид: ω = (2)

Подставляя (1) в (2) получим (3)

1.2. Вариант: изменяются все переменные, кроме А.

Заменим х на mx,a y на ny и принять постоянное значение А, то, как следует из формулы (1) переменная В примет значение mnB и новая относительная ошибка, характеризующая нарушения баланса имеет вид: (4)

Уравнение баланса при этих новых условиях является AmnB = mxny и подставляя в формулу (4) получаем: (5)

Сравним путем вычитания ω₁ и ω₂ : = 0 (6)

Т.о. ω₁ и ω₂ и равны для любой функции f(A).

1.3. Вариант: изменяются все переменные, кроме B

Тогда относительная ошибка

Поскольку mnAB = mxny , получим (7)

Рассмотрим разность или

(8)

Следовательно ω₃ не равна ω₁ для любой функции f(A).

ω₃ = ω₁ лишь при f(mnA)=mnf(A)

Это имеет место в том случае, когда f(A)=kA, где k – постоянная.

Наиболее распространенной ошибкой типа суммы является А_каж = А_ист ± k, где k имеет постоянную величину при любом значении А. Данный метод позволяет легко обнаружить эту ошибку.

1.4.Вариант: изменяются все переменные, кроме x.

Заменим A на тА, В на п В и у на тпу.

В этом случае: (9)

и ошибки будут равны только при f(ma)=mf(A).

Т.о. доказано правило:

• Если в уравнении AB=xy одна из переменных имеет систематическую ошибку типа суммы, то эту переменную можно обнаружить рассматривая поочередно с фиксированным значением каждой переменной.

• Переменная, для которой, при фиксированном ее значении, относительная ошибка не изменяется, содержит систематическую ошибку.

• Единственным исключением является случай, когда переменной, содержащей ошибку, является (A+kA). В этом случае ошибку невозможно обнаружить с помощью данного метода.

2. Случай ошибки типа произведения.

Рассмотрим уравнение (1) в случае ошибки типа произведения.

В этом случае (10)

При фиксированном значении переменной А: : (11)

и ω₂ — ω₁ = = 0

При фиксированном значении переменной B: (12)

Эта разность не равна «0» для всех функций за исключением случая: f(A)=f(mnA),

что имеет место, когда f(A) постоянна для всех значений А, т.е. f(A)A = kA.

Т.о. доказанное правило приемлемо и в случае ошибки типа произведения, но исключение из правила будет другим.

Все сказанное относится к уравнениям сохранения следующих типов:AB = X, ABC =XYZ, (AY = BX как вариант). Уравнение X = Y нельзя использовать для обнаружения ошибки.

В экспериментах, где суммируются энергии, электрические токи, расходы жидкости или газа, уравнения сохранения имеют другую общую форму: A+B = x + y (13)

В этом случае возможны аналогичные преобразования.

При проверке баланса редко удается обнаружить источник ошибки если:

1. Какая-либо переменная имеет большие случайные ошибки.

2. Имеет место одно из упомянутых исключений.

3. Контроль за переменными является неудовлетворительным, что не позволяет поддерживать строго фиксированное значение переменной.

Пример: Уравнение теплового баланса водяного теплообменника имеет вид:

C _p w_c ΔT_c = C_p w_h ΔT_h. В обеих частях уравнения С_р имеет одинаковое значение. Условия теплового баланса не выполняются. По этой причине был проведен ряд экспериментов, в результате которых получены следующие результаты:

w – кг/мин - расход воды; ΔT -⁰С; С_{р —} коэффициент теплоотдачи;

относительная ошибка ω = (w_h ΔT_h - w_cΔT_c ) / w_c ΔT_c

№ испытания	wc	ΔTc	wh	ΔTh	ω
1	1	50	3,25	20	30
2	2	15	1,75	30	75
3	2,2	40	2,25	58,5	50
4	1	30	2,3	18	38
5	1,9	40	3,25	30	30

Вопрос: Какой результат вызывает нарушение теплового баланса ?

Решение: Если имеется ошибка типа суммы или произведения и рассматриваемый случай не является исключением из правил, то можно ожидать, что для переменной, содержащей систематическую ошибку, относительная ошибка ω не изменится, когда эта переменная принимает фиксированное значение, а все остальные переменные варьируются.

В испытаниях 1 и 5 получены почти одинаковые значения ω и в этих случаях расход горячей воды w_h является постоянным. Т.о. можно ожидать, что эта переменная имеет систематическую ошибку.

Проверка ошибок путем экстраполяции.

Н едостаток экстраполяции — невозможность определить кривизну графика за пределами области данных. Ошибка, показанная на рис.10, обнаруживается только тем, кто знает теорию и представляет ожидаемый результат.

Если потребуется экстраполяция к нулевой точке, то вначале необходимо построить график в логарифмических координатах, чтобы убедиться в том, что получена прямая. Затем надо найти функцию и после преобразования построить новую прямую в линейном масштабе.

Рис.10. Характеристика ошибки экстраполяции

Выполнение повторных измерений и ошибка старения.

Наиболее распространенным методом проверки соответствия экспериментальных данных является проведение повторных измерений при неизменных условиях эксперимента. Эти измерения необходимы при неудовлетворительной точности данных (или контроля за переменной). Для большинства экспериментов проведение повторных измерений — стандартная методика проверки правильности работы аппаратуры.

Если данные, полученные при повторных измерениях, отличаются от первоначальных, то это может означать, что их точность неудовлетворительна, осуществляется плохой контроль, аппаратура имеет некоторую неисправность, либо существует ошибка старения.

Ошибки старения обычно наблюдаются в случаях:

- усталостные процессы в материалах, влияние агрессивных сред, температуры (в любых экспериментах);

- изменение характеристик с течением времени (электровакуумные приборы);

- постепенное засорение трубопроводов, ухудшение характеристик радиаторных пластин (накипь) - эксперименты с теплопередачей;

- радиационное влияние на аппаратуру (источники радиации);

- нагрев электромашин и сопротивлений.

Ошибка старения по существу представляет собой постепенное ухудшение характеристик.

Если такие эффекты при планировании эксперимента становятся известными и существенными, то обычно планируются специальные испытания на долговечность, усталость. Обычное применение - когда независимой переменной является продолжительность работы.

Исключение резко отклоняющихся значений.

Важно проводить различие между крайними и средними точками, поскольку необходим различный подход к их изучению.

Точка А на рисунке 11 имеет большое отклонение (если есть критерий — исключить). Точка В возможно не является ошибочным отклонением (может быть началом нового участка кривой — изменение условий и т.д.). Также и точка С может быть точным значением и, возможно играет важную роль. Во всяком случае ничего определенного сказать нельзя, пока не будут найдены дополнительные точки (область малых значений Х).

Рис.11. Исключение резко отклоняющихся значений

Отклоняющиеся точки следует исключать, пользуясь статистическим критерием, и только в том случае, если они находятся в средней части графика.

Основные критерии, на основе которых должны исключаться данные, имеют как физическую, так и статистическую природу:

1.Явно неудовлетворительный контроль ( резкое увеличение U в сети).

2.Явная неисправность прибора ( если несколько точек резко отклоняются и, кроме того, распределены случайным образом — имеет место при рандомизированном плане — то можно ожидать, что измерения выполнены неправильно - исключить).

3.Нарушение баланса сверх установленного предела ( при условии, что для каждой точки можно использовать уравнение баланса).

4.Нарушение статистического критерия. Существует несколько статистических критериев.

Критерий Шовене. Допустим, что рассматриваемые ошибки распределены по нормальному закону, поэтому можно использовать для нахождения вероятностей таблицы зависимости

P_ηx = f(ηx), где P_ηx — вероятность, что данное отклонение лежит в интервале от + ηx до - ηx

(η — постоянная, характеризующая нормальное распределение — модуль или показатель точности).

Согласно указанному правилу какой либо отсчет из ряда п отсчетов следует исключить в том случае, когда величина его отклонения от истинного или среднего значения такова, что вероятность появления этого отклонения не превышает

Пример: Пусть мощность имеющегося двигателя вычислена с вероятностью ±0,05 квт. Было получено 8 значений мощности и одно из них отклоняется от среднего значения на 0,12 квт.

Вопрос: следует ли резко отклоняющееся значение исключить?

Решение: Зная вероятную ошибку, найдем сначала η.

Из формулы Ф = =0,05квт имеем η = = 9,55 квт^-1.

Вероятность по Шовене Р_ш = = = 0,0625 (6,25%).

Далее определяем, будет ли при η = 9,55 квт^-1 и нормальном распределении вероятность того, что отклонение превысит 0,12 квт ( больше ил меньше 6,25%). В нашем случае ηх = 9,55 ∙ 0,12 = 1,14.

Вероятность того, что какой-либо отсчет превысит это значение ηх равно:

P_ηx = 1 - 0,893 =0,107 (10,7%).

Применяя критерий Шовене видим, что с вероятностью 10,7% отклонения превышают ± 0,12 квт. Эта вероятность больше, чем 6,25%, поэтому данный результат не следует исключать.

Какие отклонения следует отбрасывать используя критерий Шовене?

Любое отклонение не попадающее в вероятностный диапазон 1 - 0,0625 = 0,9375 = P_ηx (если п = 8).

Из таблицы зависимости P_ηx = f(ηx) находим, что ηx = 1,31.

Откуда х_ш = = 0,138 квт. Итак: 0,12квт < 0,138квт — отбрасывать нельзя.

Требования критерия Шовене

Число данных п	4 5 6 10 15 25 50 100 300
Отношение тах допустимого отклонения к S1	1,54 1,65 1,73 1,96 2,13 2,33 2,57 2,81 3,14

Если число значений п менее 4 ^х, то отбрасывать какую-либо из них неразумно.

Допустим, что на основе статистического критерия были исключены одно или два значения (точки) и вычислены новое среднеквадратическое отклонение и вероятностный предел, требующий исключить еще большее количество точек.

Теоретически так может продолжаться до тех пор, пока почти все данные не окажутся за пределами допустимого интервала.

Чтобы этого не было статистический критерий применяется только один раз.

Используя критерий Шовене можно легко обнаружить значимое отклонение от линейного закона.

Если проверка устанавливает, что две точки превышают предел, установленный критерием Шовене. Логично предположить, что достигнут предел линейности.

Выводы по разделу проверки данных.

Успех методов проверки данных, полученных в результате эксперимента зависит от работ, осуществляемых до начала эксперимента, а не от запоздалых мер, принимаемых при возникновении подозрений после проведения половины эксперимента.

• Одним из распространенных методов проверки — применение уравнений баланса, в которых поступление приравнивается к расходу. Основные трудности возникают в тех случаях, когда происходит «утечка» в следствии плохой изоляции, трения и т.д. или когда трудно выполнить точные измерения входной и выходной величин.

При использовании уравнения баланса иногда удается обнаружить переменную, содержащую ошибку.

Если уравнение баланса записано как равенство двух произведений, то задавая поочередно фиксированные значения каждой переменной, предполагаем, что переменная, для которой относительная ошибка не меняется, имеет систематическую ошибку.

Если уравнение баланса составлено из сумм, то применяется та же методика, но теперь «подозревается» та переменная, для которой при фиксированном ее значении величина разбаланса не меняется.

Метод уравнений баланса дает хорошие результаты только в случае наличия чисто систематической ошибки одной переменной, входящей в уравнение равновесия.

К сожалению при наличии случайных ошибок применение метода и его правил затруднено.

• Если имеются несколько групп данных, то их соответствие можно проверить с помощью экстраполяции при условии, что конечные точки кривой известны и полученные данные достаточно хорошо описывают нелинейный участок кривой.

Наилучшие результаты можно получить при преобразовании переменных путем нахождения обратных величин или применения других функций, дающих линейные графики. Для этого потребуется предварительное построение графика на логарифмической бумаге (с целью максимальной точности). Иногда возможна двойная проверка, когда оба конца кривой проверяются независимо друг от друга.

• Самым простым и общим методом является повторное снятие отсчетов при определенной комбинации условий. Отличие первого отсчета от второго может быть обусловлено плохой точностью измерений или ошибкой старения.

Под ошибкой старения подразумевается любое постепенное необратимое ухудшение характеристик проверяемого образца или контрольного прибора. Ошибки старения обнаруживаются путем периодического повторения эксперимента при выбранных комбинациях условий. Это обстоятельство надо учитывать при планировании эксперимента.

• Резко отличающиеся значения отсчетов (одно или большее число в группе) могут быть исключены, если наблюдаются превышения заданного критерия.

Если вероятная ошибка или другой показатель точности известен , то возможно применение статистического метода, в котором условие исключения резко отклоняющихся значений определяется критерием Шовене.

Однако этот метод нельзя использовать для исключения крайних точек кривой, где может быть обнаружено изменение функциональной зависимости.

Статистический анализ данных.

Два вида ошибок статистического вывода.

Введем дополнительные термины. Наиболее важное - значимость эксперимента или его результатов.

Пример: Испытание образцов стали марки A (20шт) и марки B (20шт)

Вариант 1 Сталь А – разрушение при Р = 4200 ± 350 кг / см²;

Сталь B – разрушение при Р = 5600 ± 350 кг / см²

сталь B имеет более высокую прочность – результат высокозначимый.

Вариант 2 Сталь B - Р = 4430 ± 350 кг / см² - есть сомнения и статический метод проверки необходим.

Ошибки статического вывода.

Ошибка первого рода: Исследователь приписывает наблюдаемым различиям некоторый реальный эффект, а в действительности никакого эффекта нет.

Пример: Принимаем решение: Сталь марки B (вар2) прочнее стали А – приступить к закупкам. Последующие проверки на более крупных партиях – разницы нет.

Ошибка второго рода: Игнорирование реального эффекта или различия, которое в действительности присутствует.

Пример: Условия те же.

Принимаем решение, что различие между марками стали А и В не является значимым и запускаем в производство. Последующие проверки показывают, что сталь марки В несомненно прочнее и допущена ошибка второго рода.

Проверка значимости с помощью χ² критерия (критерий Пирсона).

Некоторые эксперименты могут давать различные результаты в зависимости от дня недели, смены, разных мест, разных исполнителей. Испытания такого рода можно проверять на значимость с помощью χ² критерия.

(1)

где: N – наблюдаемое число событий (отказов и т.д.); о- объекта;

E – математическое ожидание этого события.

Когда мы говорим о математическом ожидании, то вводим гипотезу, которая может быть истинная и ложная.

При любом – табличном или графическом – представлении распределении χ² необходимо знать число степеней свободы, связанных с экспериментом.

Число степеней свободы – это число независимых групп наблюдающих, охватываемых гипотезой.

Пример: Приобретение маломощных двигателей на фирмах А и B (поровну).Через время Т вышли из cтроя F_A и F_B. Общее число постоянно и равно F_A + F_B.

Проверим гипотезу: Число отказавших двигателей обеих фирм одинаково?

Решение: Ожидаемой число F_A можно принять равным F_A = ( E₁) и F_B = (E₂). Поскольку имеем одну группу наблюдений, то имеем одну степень свободы.

Выражение (1) принимает вид: (2)

Пример: Эксперимент по хронометрированию. 3 группы. Первая группа снимает половину всех данных и делает N₁ ошибок:; вторая группа 1/3 данных и N₂ ошибок; третья группа – 1/6 данных – N₃ ошибок, Всего ошибок: N= N₁ + N₂ + N₃

Проверим гипотезу: Группы не отличаются по допускаемым ошибкам?

Решение: Если гипотеза верна, то ожидаемые числа ошибок: первая группа – N / 2;

вторая - N /3; третья - N /6. Число степеней свободы равно 2, т.к. сумма двух значений не позволяет выбирать третье.

Тогда

Зная две важные величины – число степеней свободы и χ²- критерий можно с помощью графика (или таблиц) найти вероятность того, что значение χ² не меньше найденного (или уровень значимости).

Если вероятность равна, например от 10%...30%, то это означает, что данные, полученные в результате эксперимента и данные, основанные на гипотезе не принадлежат к различным совокупностям ( данная гипотеза приемлема).

Если вероятность равна 5% - то возникает сомнение в справедливости сформулированной гипотезы и полученные данные могут не соответствовать гипотетическому распределению не менее, чем в 1 случае из 20. Если вероятность (уровень значимости) равен 1% - это событие возможно лишь в одном случае из 100.

Чаще всего при анализе эксперимента пытаются опровергнуть сформулированную гипотезу.

Критерий χ² весьма чувствителен к объему выборки.

Минимальное ожидаемое число событий одного рода равно 5, если меньше, то χ²- критерий использовать нельзя. Так, если (А + В) меньше 10 , то критерий использовать нельзя. Для вычисления критерия χ² необходимо знать фактические числа, а не % и только целые.

Критерий Стьюдента.

Проверка значимости с помощью критерия t Cтьюдента позволяет использовать проценты и дробные числа и сравнить средние значения и используется для проверки гипотез различного рода. Наибольшее применение в инженерной практике для проверки гипотезы:

с редние двух выборок относятся к одной и той же совокупности?

При проверке различия между двумя средними значениями формула для критерия t имеет вид:

(3)

где : - среднее для выборки А, равное ; - среднее для выборки B, равное ,

где n_а и n_b – объемы выборок А и В;

S_сум – среднеквадратическое отклонение для обеих выборок, рассматриваемых совместно и полученное по формуле

(4) ,

которую можно сравнить с S^I.

Число степеней свободы для данной гипотезы определяется по формуле:

п₁+п₂ - 2 (в нашем случае п_а+ п_b –2).

Рис. 12. График соотношения критерия t и числа степеней свободы для различных значений

вероятности.

Зная число степеней свободы и критерий t с помощью графика (рис.12) находим вероятность появления данного (или большего) значения t, если оба эти средние значения относятся к одной и той же совокупности.

Для полученных уровней значимости справедливо все сказанное при рассмотрении критерия χ²

Дисперсный анализ. Критерий Фишера.

Дисперсный анализ применяется когда необходимо узнать:

Оказывает ли влияние переменная Х на переменную Y? или

Сравнить изменчивость (или размах) двух или большего числа выборок данных.

F- критерий (критерий Фишера)- отношение 2^х дисперсий, вычисленных или полученных разными способами.

Пример: Испытания на прочность (сжатие) двух партий бетона. Из партии m взяты 8 проб и получены результаты (в кг/см²):305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 229,4; 265,8.

Из партии u взято 17 проб и получены следующие данные: 298,0; 263,4; 288,2; 300,7; 327,9; 303,1; 278,2; 296,0; 316,3; 290,7; 318,0; 270,8; 305,6; 320,5; 293,2; 285,5; 316,3.

Состав бетона и методика испытаний не менялись.

Вопрос: существует ли между дисперсиями данных двух партий значимое различие?

Решение: Вычисляем дисперсию двух выборок проб по формуле S² =

Для 1^ой партии получим S²_m = 896,54. Для 2^ой партии S²_u =326,16.

В нашем случае: F = S²_m / S²_n= 2,75

Вероятность получения любого данного значения F, если в действительности две дисперсии не являются различными, представлены в виде таблиц как функции числа степеней свободы для 2^х выборок данных, на основе которых вычисляется это соотношение.

Значения критерия F при вероятности Р =0,05 представлены в таблице ( таблица составлена при допущении S²₁ > S²₂ , т.е. п₁ относится к выборке данных, имеющих большую дисперсию).

Таблица значений критерия F при вероятности Р = 0,05

п2 \ п1	1	2	3	4	5	6	12	24	∞
1	164	200	216	225	230	234	235	249	254
2	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,5	19,5
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
6	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
8	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
10	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
12	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
16	4,5	3,6	3,2	3,0	2,9	2,7	2,4	2,2	2,0
20	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
∞	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

Выборка, взятая в партии т – 8 проб. Если взять 7 значений , то 8^е оказывается заданным, т.к. известно среднее значение. Следовательно: число степеней свободы для партии равно 7.

Аналогично для партии u : 17проб, а число степеней свободы равно 16.

Из таблицы значений F , как функции числа степеней свободы для двух выборок находим:

Для п_т=7 и п_и=16 F = 2,6.

Таким образом рассматриваемые нами выборки принадлежат к одной и той же совокупности с вероятностью Р = 0,05, т.е. имеются основания сомневаться , что эти две дисперсии соответствуют одной совокупности.

Вывод: прочность бетона не только колеблется в течение суток , но и средние суточные значения так же изменяются.