Некоторые формулы для определения ошибки результата.

Функция R	Ошибки результата Фr
1.k(X+Y)
2. kXY 3. kX / Y
4. kX b	X
5. ke x
6.klnX
7. kSinX

Анализ ошибок при планировании экспериментов.

При проведении эксперимента изучение ошибки результата позволяет:

• предсказать ошибки для системы в целом;

• обнаружить “слабые” места в выполняемых измерениях;

• выбрать правильный план проведения эксперимента.

Нахождение неопределенности результата с помощью графиков и диаграмм.

Пример: Отсчет х прибора имеет неопределенность ω_х . Для получения результата R необходимо воспользоваться графиком зависимости R от х.

Из уравнения интервала неопределенности:

следует (для данного случая)

О дин из способов нахождения производной функции R = f(x) в точке (R₁ x₁) для использования в формуле определения ошибки результата: на графике (рис.5) проводим касательную в указанной точке, определяем тангенс угла наклона

Если значение может быть оценено, то применение формулы не вызывает затруднений.

Рис.5. Определение угла наклона кривой графика.

Уменьшение набора переменных. Анализ размерностей.

Цель такого планирования – получение максимального объема полезных данных при наилучшем контроле и минимальных затратах времени на их обработку..

Самый известный и эффективный) способ – анализ размерностей – метод сокращающий объем многих экспериментов без потери контроля.

Применяется как способ объединения нескольких переменных в одну;

Теорема Букингема.

Для правильного анализа размерностей необходимо знать характер и число фундаментальных переменных в эксперименте.

Фундаментальная переменная – величина, оказывающая влияние на эксперимент и способная изменяться независимо от других переменных.

Первая часть теоремы Букингема:

Если уравнение однородно относительно размерностей, то оно может быть представлено в безразмерном виде.

Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбранных основных единиц.

Пример: R = f(U,I). Возможно записать в форме: ;

где k – безразмерный коэффициент, равный 1 при U(вольт), I(ампер), R(ом), но изменяющейся, если какая либо величина имеет другую размерность (к ом ,к вольт).

При анализе размерностей соотношений, характеризующих эксперимент, необходимо помнить постулаты:

1 - Любое явление или процесс, подчиняющийся действию физических законов, должны иметь математическое описание.

2 – В математическом описании обязательно используются операция измерения физической величины, т.е. сопряжения ее с числом.

• Первичные величины х измеряются путем прямого сопоставления их с эталонами х₀ : где X – численное значение величины х при эталоне. x₀ .

Пример: выбрав за эталон х₀ =1см можно выразить (записать) размеры тетради X₁=28, X₂=20. Если х^/₀ = 1дм, то получим X₁ = 2,8 ; X₂ = 2,0.

Т.о. сами числовые значения нельзя считать абсолютными признаками какого-либо объекта – они по своей сути относительны. , где

Абсолютный признак – отношение численных значений: ,не зависящее от выбранных эталонов х₀.

- признак объекта (тетради), инвариантный к выбранной системе единиц (эталонов длины).

Это важное свойство в анализе размерностей называется абсолютностью отношений.

Оно отражает первый постулат и для первичных величин выполняется автоматически

• Вторичные величины y выражаются через первичные посредством определительного уравнения y = f(x_i) . Их численное значение y зависит как от эталонов х₀ , так и от вида управления (в рассмотренном ранее случае R = U / I).

В соответствии с первым постулатом должна существовать абсолютность отношений,

т.е. если , , то . ( – вольт, - киловольт)

Выполнение этого условия возможно лишь при следующем виде определительного уравнения: ,

тогда и ,

где a₁, a_i и a_m - показатели размерности.

Тогда (с учетом ):

Полученный результат можно распространить на случай, когда вторичная величина не зависит от «m» первичных и «r» вторичных, т.е. y = f(x₁… x_m , y₁… y_r ) , тогда

и .

Формулы и есть формулы размерности, а показатели степени в них – показатели размерности.

Пример: Скорость V- вторичная величина, выражается через первичные: путь х₁ = S и время x₂ = t

Определительное уравнение , где А =1, a₁ = 1, a₂ = -1

Тогда формула размерности: k_v = k_s k^-1_t . Можно также , где L и T- символы длины и времени, [V] – размерность скорости, выраженная через первичные величины.

· Размерность первичной величины совпадает с ее символом

· Безразмерные величины имеют «нулевые» показатели размерности.

Условие однородности уравнения означает отличие от нуля всех входящих в него показателей степени.

Невыполнение этого условия показывает, что исходная запись некорректна и в ней не соблюдены физические законы, либо пропущены существенные для данной задачи параметры и константы, либо, напротив, присутствуют величины, не влияющие на изучаемый процесс, т.е. не существенные для данной задачи.

Однородность уравнения не гарантирует правильности постановки задачи. Она лишь свидетельствует о том, что противоречия с физическими законами не содержится.

Вторая часть теоремы Букингема (π - теорема).

Если существует соотношение f ( A₁…A_n) = 0 между «n» физическими величинами, для описания которых используется «k» основных единиц, то существует также соотношение f′(π₁…π_n-k) = 0 между n –k безразмерными комбинациями, составленными из этих физических величин.

или: Число безразмерных комбинаций равно числу переменных, параметров и констант,

существенных для рассматриваемого процесса, за вычетом числа независимых первичных величин, через которые выражены эти переменные, параметры и константы.

Любую зависимость Y = f(X), описывающую физические явления и связывающую существенные для данной задачи переменные, можно представить как формулу размерности, выбрав некоторые величины в качестве первичных.

В механике – это масса, длина и время (M, L,T).

Формулы размерности – основа для преобразований исходных выражений типа y = f(x,y) к безразмерному виду, т.е. для перехода от первоначальных размерных факторов x₁…x_m и y₁…y_r к новым факторам – безразмерным комплексам π₁…π_m , число которых меньше числа исходных факторов.

Метод последовательного исключения переменных.

Метод нахождения безразмерных комбинаций, особенно если уравнение для показателей степени, сложен и приходится применять метод определителей, что значительно усложняет решение.

Рассмотрим другой, не менее эффективный способ – метод последовательного исключения размерностей. При его применении основные размерности последовательно исключаются путем составления комбинаций переменных.

Пример: проводятся испытания нескольких одинаковых насосов.

Известно:D – диаметр рабочего колеса; ω - скорость вращения колеса; ρ - плотность жидкости; Q- объемный расход жидкости; ΔP - повышение давления в перекачиваемой жидкости величина зависимая (или измеряемая).

Между этими величинами существует соотношение: ΔP = f(Q, ω, ρ, D) (1)

Уравнение в системе MLT: (2)

Если соотношение (1) выражает реальные условия эксперимента, то таким же точным и общим будет

.

при этом формула размерностей изменилась: ρ не может быть записано в правой части уравнения (2), т.к. из всего уравнения только ρ содержит размерность М. Мы исключили М – основную размерность.

Следовательно уравнение размерностей можно записать:

Теперь, используя переменную ω, исключим размерность «Т»: и уравнение размерностей будет иметь вид: L² = f(L³, L)

Исключим размерность L используя переменную D:

Полученное выражение показывает, что безразмерная величина , характеризующая изменение давления, является некоторой экспериментальной функцией важного параметра насоса (безразмерного) .

Выводы: Успех метода анализа размерностей зависит от правильного понимания физического смысла конкретной задачи.

Общие рекомендации по применению метода:

Этап 1. Выбрать независимые переменные, оказывающие воздействие на систему, Необходимо рассматривать также размерные коэффициенты и физические константы ,если они играют важную роль .

Это наиболее важный и ответственный этап всей работы.

Этап 2. Выбрать систему основных размерностей ,через которую можно выразить единицы всех выраженных переменных .

Обычно используются следующие системы:

Механика и динамика жидкостей: М-масса, L-длина, Т- время. (иногда вместо М - F-сила).

Термодинамика: M, L, T и t⁰(температура) или М L,T и t⁰, Н(тепловая энергия).

Электротехника: M, L, T, k (диэлектрическая постоянная) или M, L, T, μ (постоянная магнитного поля)

Этап 3. Записать размерности выбранных независимых переменных и составить безразмерные комбинации.

Решение будет правильным, если:

- каждая комбинация является безразмерной;

- число комбинаций соответствует теореме «π» и равно числу переменных параметров и констант, существенных для изучаемого процесса п за вычетом k – числа независимых первичных величин, через которые выражены эти переменные т.е. (п – k).

- каждая переменная встречается в комбинациях хотя бы один раз.

Этап 4. Изучить полученные комбинации с точки зрения их приемлемости, физического смысла и концентрации неопределенности по возможности в одной комбинации (если должен использоваться метод наименьших квадратов).

Если комбинации не удовлетворяют этим критериям, то:

- получить другое решение уравнений для показателей степеней, чтобы найти лучший набор комбинаций;

- выбрать другую систему основных размерностей и проделать всю работу с самого начала;

- проверить правильность выбора независимых переменных.

Этап 5. Когда будет получен удовлетворительный набор безразмерных комбинаций, исследователь может составить план изменений комбинаций, варьируя на приборах значения выбранных переменных.

Последовательность испытаний и план эксперимента.

Определение интервалов между экспериментальными данными.

При проведении некоторых экспериментов чрезмерное количество данных по существу препятствует обнаружению важных эффектов.

П ример: Испытания образцов малоуглеродистой стали на растяжение (зависимость деформации от напряжения – рис.6 ).

При исследовании функции y=f(x) необходимо выбрать практически приемлемое количество точек из бесконечной совокупности представляющей данную функцию и имеющих форму кривой (прямой) в системе координат. При исследовании функции f(A,B), где A и B – независимые переменные, полной совокупностью является некоторая поверхность.

Рис.6. График зависимости деформации от напряжения образцов стали на растяжение.

Критерии при выборе интервалов между точками f(x,y)

1.Относительная точность данных на различных участках области исследуемых значений.

2.Характер экспериментальной функции.

- формула для определения интервала (1)

Пример: - утечка давления (функция расхода и плотности) , где ρ - плотность; V- скорость (расход) жидкости; P – давление; q – ускорение.

Определить: какое число точек необходимо для построения кривой (рис 7)?

Решение: Преобразуем функцию: , тогда

Рис. 7. Графики зависимости ΔP = kV ²

Если между двумя заданными точками при V₁ берется интервал ΔV₁ то следующий интервал ΔV₂ находится (приΔS₁ =ΔS₂) из соотношения:

, гдеV₂ – скорость в начале следующего интервала V₂ = V₁+ΔV₁

Аналогично определяя интервал за интервалом, получаем компактный и логически обоснованный график (см. рис.7.в)

Основной целью проведения эксперимента при определении утечки (проверке изменения давления) является нахождение коэффициента k, т.к. он необходим для определения интервалов между значениями переменных с помощью формулы (1).

При неизвестном k исследователь должен использовать другие приближенные или специальные методы, не требующие знания исследуемой функции.

Если рассматриваемая функция простая, то с помощью различных алгебраических преобразований ее можно привести к линейному виду. Так выше рассматриваемая функция (зависимость падения давления от скорости) может быть преобразована к виду:

Тогда взяв одинаковые приращения lnV , а не V как ранее, получим кривую с равномерным распределением точек lnP = f(lnV).

Как видим, не требуется знаний k, ρ, q и даже нет необходимости знать, что скорость V имеет показатель степени 2.

Пример: функция y = Ae ^-bx .

Найти: интервал между значениями переменных.

Решение: приводим с помощью логарифмирования к виду ln y = ln A — bx. Следует построить график для y как функции х, взяв одинаковые приращения х.

Следует иметь ввиду, что выбор интервалов между точками производится не для получения симметричной или удобной кривой, а стремление к тому, чтобы в любой части экспериментальной кривой иметь такую же точность, как и в любой другой.

Не в каждом эксперименте удается добиться такого идеального положения, однако всегда следует стремиться к нему.

Порядок проведения эксперимента.

Будем считать эксперименты воспроизводимыми, полагая, что образцы имеют допустимо малые отклонения (подготовка эксперимента).

Рассмотрим два основных типа эксперимента:

1. В начале возьмем одно из предельных значений независимой переменной (верхнее или нижнее) и с определенными интервалами изменять его до тех пор. Пока не будет достигнуто другое предельное значение. Такие планы называются последовательными.

2. Выбранные значения чередуются чисто случайным образом (берут то большее, то меньшее значения), Такие планы называют случайными или рандомизированными.

Рандомизированные блоки: внешние переменные.

Пример: требуется проверить работу новой оснастки (резца) в производственных условиях.

Определить: оптимальную скорость обработки (резания), обеспечивающую максимальную производительность при заданной величине % брака.

Решение: Мы имеем однофакторный эксперимент, в котором независимой переменной является скорость обработки, зависимой -выход продукции R, а внешней переменной — рабочий.

Если допустить, что рабочих 20 человек, то как выбрать типичного (различие в квалификации, физических возможностях и т.д.)?

О бозначим скорости цифрами 1,2,3,4, а рабочих буквами А,В,С и D можно получить следующий план - 1вариант.

В 3^м варианте - латинский квадрат.

Усовершенствуем эксперимент, введя вариации станков, обозначив их W,X,Y,Z, В результате получаем 4^й вариант плана - построен Греко – латинский квадрат, позволяющий усреднить влияние факторов: станок, рабочий, день.

Многофакторные эксперименты. Классические и факторные планы.

Если в эксперименте рассматриваются две, три или более регулируемых переменных, то такие эксперименты называются многофакторными. В таких экспериментах могут иметь место одна или несколько внешних переменных.

В таких экспериментах возможен выбор плана одного из двух типов: классического и факторного.

Классический план применяется практически во всех областях.

Факторный план часто бывает короче и всегда точнее (при данной продолжительности эксперимента), но находит меньшее применение.

Классический план состоит в том, что все независимые переменные, кроме одной, полагают постоянными, а эта «одна» переменная изменяется во всем интервале значений. При этом выбор интервалов между значениями переменной производится по одному из правил, а учет влияния внешних переменных производится как было показано выше. Если между независимыми переменными существует простое математическое соотношение, то определяется зависимость R от Х (изменяемой). Затем исследуют влияние Y на R, потом Z и т.д.

Классический многофакторный эксперимент – это последовательность однофакторных экспериментов. Он позволяет выявить (найти) такие простые функции как:

; ;

План 2^х- факторного эксперимента, в котором каждый фактор берется на 5 уровнях схематически можно представить в виде ограниченного классического плана (рис.8а).

В случае более сложных функций, например j маловероятно, что с помощью ограниченного плана удастся определить эти зависимости (когда обе переменные Х иY поочередно берутся на одном уровне). Пример, когда рассматриваются несколько уровней переменных Х и Y (рис.8б). Можно заполнить весь квадрат и провести эксперимент для всех 25 комбинаций условий.

Рис.8. Варианты планов факторного эксперимента.

Если планируется эксперимент классический — частичный или полный, то он не обязательно должен быть сбалансированным. Это означает, что можно выбрать 10 уровней по X и только 3 по Y, если зависимость R от X является более важной (или сложной).

Пример: Испытание теплообменников (соотношение ),

где N_ST – ч исло Стентона – зависимая переменная

N_R – число Рейнольдса – независимая

N_P – число Прандтля – независимая

В большинстве случаев в широком интервале температур N_P изменяется медленно.

N_R – зависит от скорости потока жидкости – изменяется в широких пределах;

N_P – характеризуется физическими свойствами жидкости – кинематической вязкостью γ и коэффициентом теплопроводности.

Т.о.: следует варьировать N_P на значительно меньшем числе уровней, чем N_R .

При практическом использовании формулы зависимость N_ST от N_R играет большую роль.

При применении факторных планов необходимо знать, к какому классу относится исследуемая формула (до начала обработки данных)

1 – формулы, в которых зависимая переменная (R – результат) является суммой функций от независимых переменных

Общая формула: R = f₁(x) + f₂(y) +f₃(z)

2 – формулы, в которых R представляет собой произведение отдельных функций независимых переменных R = f₁(x) f₂(y) f₃(z).

Это соотношение после преобразования log R = log f₁ (x ) + log f₂ ( y) + log f₃(z ) можно рассматривать как частный случай первого класса.

Выражение R = f₁(x) f₂(y) f₃(z) является одним из наиболее важных общих соотношений в научных исследованиях. Оно включает результат наиболее применяемых при анализе размерностей R = kX^aY^bZ^c и для множества различных сложных функций типа

R = kX^aY^be^cZ или R = A^y SinB Z

Рассмотрим порядок проведения эксперимента (план):

Известно: функция относится к произведению функций; эксперимент сбалансированный, в котором переменные x,y,z берутся в трех уровнях.

Тогда латинский квадрат имеет вид, показанный на рис.9а.

Уравнения для строк, содержащих x₁ и x₂ показаны на рис.9 б и в соответственно.

Рис.9 Латинский квадрат для функций произведения и уравнения для строк x₁ и x₂

Cуммируя три уравнения, содержащие х₁ и х₂ получим:

; ; аналогично .

Тогда: – const; – const; – const.

Т.о. все изменения усредненного результата определяется влиянием лишь одной переменной x.

Такой же результат будет получен, когда усреднения проводятся по трем уровням переменной y и z.

Если добавить еще одну переменную W, то же правило распространиться и для нахождения влияния переменной W на R.

Анализ различных функций можно выполнить с помощью графиков зависимости log R_ср от log x, либо исследовать зависимость R_ср от x численными методами.

Если неизвестно, к какому классу относится исследуемая функция, то не рекомендуется проводить факторный эксперимент, а применить стандартный классический метод.

Выводы по теме” Последовательность испытаний и план эксперимента”

Имея несколько переменных (независимых) в начале следует:

•Установить : интервалы между экспериментальными точками (или комбинациями условий) так, чтобы окончательно построенная кривая имела одинаковую точность на всем ее протяжении. Если анализ неопределенности показывает, что часть кривой имеет меньшую точность, то интервалы между точками надо изменить так, чтобы на участке малой точности находилось больше точек.

•Принять:

- последовательный план эксперимента — при условии изменения независимых переменных регулярно в возрастающей или убывающей последовательности;

- рандомизированный план — при условии изменения независимых переменных случайным образом по какому-либо нерегулируемому правилу.

Последовательный план — невоспроизводимый эксперимент, в том числе, когда последовательность получения данных является параметром эксперимента.

Рандомизированный план — проводятся воспроизводимые эксперименты.

Когда внешние переменные можно распределить по определенным категориям, их влияние лучше всего исключить, применив такой факторный план, как греко-латинский квадрат, в котором различные внешние переменные распределяются случайным образом между комбинациями условий. Планы могут быть сбалансированными и нет.

Большой блок (6,8,10 уровней) с небольшой потерей рандомизации можно заменить двумя или большим числом меньших блоков.

Если проводится эксперимент, в котором рассматривается несколько переменных факторов, то :

- можно выбрать классический план, когда все переменные, кроме одной, принимают постоянные значения на одном уровне;

- можно выбрать факторный план, когда все переменные варьируются (как показано в греко- латинском квадрате).

Классический план - может иметь большую продолжительность, и данные должны сниматься повторно несколько раз.

Факторный план - применение ограничивается случаями, когда зависимая переменная равна сумме или произведению функций независимых переменных и эти функции известны. Основное преимущество факторных экспериментов состоит в том, что для каждой кривой используется вся совокупность данных и поэтому точность результатов максимальна.

Проверка данных и исключение резко отклоняющихся значений.

Способ предупреждения случайностей состоит в том, что предвидя возможность появления серьезных ошибок, инженер должен запланировать одну или большее число проверок точности и приемлемости получаемых данных.

Уравнение баланса.

Пример: Расход воды (p = 1г / см³). Разные приборы:

первый (весовой дозатор) – 6,8 кг/мин; второй – объемный расходомер – 7,65 дм³/мин

Найти: Степень нарушения баланса и относительную ошибку, полагая, что показания первого прибора (весового) точные.

Решение: Уравнение сохранения массы: Т_время × Р_вес = Q_объем ×p_{плотность} или 1×6,8 = 7,65×1,0;

Отклонение: 7,65-6,8=0,85 кг/мин

Относительная ошибка 0,85 / 6,8=12,5%

Определение источников ошибок с помощью уравнений баланса.

Два типа систематических ошибок:

1.Ошибка типа суммы – когда результат отклоняется от истинного значения на величину f(A),

где f – функция величины А.

2.Ошибка типа произведения – когда, «кажущееся» значение равно A f(A)

Рассмотрим соотношение AB = xy (1)