2.Вероятная ошибка ф.

Эта величина определяется как такое отклонение, при котором в интервале ±Ф находится ровно половина всей совокупности. Из таблицы видно, что в случае нормального распределения

, а вероятность отклонения в интервале ±Ф составляет 50%.

Пример: тот же η = 0,04 (об/мин)^-1.

Задание: найти при равном показателе точности прибора η числа оборотов в минуту, заключенных в интервале ±σ и ±Ф.

Решение : σ = 0,707 / 0,04 = 17,7 об/мин; Ф = 0,447 / 0,04 =11,9 об/мин.

Т.о. 68,2% всех отсчетов при калиброванном значении 1000 об/мин находятся в интервале от 982,3 до 1017,7 об/мин, а половина всех отсчетов заключена между 988,1 и 1011,9 об/мин.

Определение случайной ошибки измерительной системы.

При выполнении точных экспериментов важно знать: подчиняются ли отклонения нормальному закону?

Вероятностная бумага – график, на котором нормально распределенная совокупность отсчетов образует прямую линию.

Пример: Определение твердости по Бринеллю на образце, твердость которого известна. Эксперимент проводят несколько групп студентов.

Определить: Данные выборки распределены по нормальному закону?

Решение: Всего произведено 31 измерение (см. таблицу).

Результаты сведены в таблицу:

Отклонения (мм)	- 0,20	- 0,15	- 0,10	- 0,05	0	+0,05	+0,10	+0,15	+0,20
Число отклонений не превышающих данного	1 (1)	1 (0)	2 (1)	6 (4)	19 (13)	26 (7)	30 (4)	30 (0)	31 (1)
% отклонений не превышающий данного	3,2	3,2	6,4	19,4	61,2	84,0	97,0	97,0	100,0

Все результаты округлены до 0,05мм. Всего произведено 31измерение (сумма цифр в скобках)

А –нормальное;

В – симметричное, более плосковершинное, чем нормальное;

С – симметричное, более островершинное, чем нормальное;

D – два ассиметричных распределения.

Рис.2: а) - график, построенный на вероятностной бумаге; б) - виды распределений, получаемых на графиках «вероятностной бумаги»

Среднеквадратическое отклонение т.к. рассматривается выборка, а не генеральная совокупность.

- более точная формула.

Наилучший результат выборки

Вероятность появления отсчета x₁ , находящегося в интервале ∆x

где вместо η применяем h,т.к. рассматривается выборка.

Рис.3. Распределение отклонений отсчетов

Oдно из основных положений теории вероятности:

Вероятность появления всей выборки, состоящей из n отсчетов равно произведению вероятностей появления отдельных отсчетов.

∆P = ∆P₁ · ∆P₂ ·…·∆P_n

Сумма квадратов отклонений от наилучшего или точного отсчета должна быть минимальной.

Дифференцируя ∆Р_сум по x_с получим:

Эта производная равна нулю в одном случае - когда

Пример: Оптический пирометр установлен на светящуюся нить накала. Операторами произведено несколько измерений t⁰_c

	925	950	975	1000	1025	1050
n	1	9	6	18	10	2	∑ =46

Предположение: выборка взята из нормально распределенной совокупности

Найти: среднеквадратическое отклонение S и вероятную ошибку Ф

Решение: Находим среднее значение х_с :

Запишем данные в более удобном для вычислений виде

1000-x	75	50	25	0	-25	-50
n	1	9	6	18	10	2
n(1000-x)	75	450	150	0	-250	-100

Cведем значения отклонений x и их производных в таблицу:

x	75	50	25	0
	5625	2500	625	0
n	1	11	16	18
	5625	27500	10000	0

∑n = 46 ; ∑x² = 43125;

В итоге: 993 ± 21⁰с

Ошибки и неопределенности эксперимента в целом.

Показатель точности произведения или частного.

Рассмотрим результат R , как линейную функцию произведения двух измеряемых величин X и Y:

R = kX·Y , где k - нормирующий множитель, точно известный.

Для X выборочное среднеквадратическое число равно S_x ,а для Y – S_y ; х₁ – данное отклонение от точного значения Х_с, обусловленное наличием случайной ошибки при измерении Х, а y₁ – одновременно наблюдаемое отклонение от точного значения Y_с.

Формула для пары отсчетов, взятой из выборки , содержащей n таких пар, имеет вид:

Rc + r₁ = k ( Хc + x₁) ·(Yc + y₁), (17)

где r₁ – отклонение результата.

или Rc + r1 = k ( XcYc + x1 Yc + Xc y1 + x1y1)

Произведением x1 y1 можно пренебречь ввиду малых величин .

Тогда r₁ = (x₁Y_c + y₁X_c), аналогично для другой пары : r₂ = (x₂Y_c + y₂ X_c) и т.д.

Из определения среднеквадратического отклонения имеем (18)

Просуммировав n аналогичных уравнений получим:

∑r² = k²[ Y²_c ∑x² + X_c Y_c ∑(x y) +X²_c ∑y²] (19)

∑(x y) можно полагать равной нулю, т.к. любое произведение x и y может быть с равной вероятностью как положительным, так и отрицательным, а для большой выборки сумма этих произведений будет стремиться к нулю.

Подставляя ∑r² в формулу вычисления S²_r (18) получим :

Подставляя в формулу S, полученную ранее, выражение R = k XY после преобразований имеем :

(20)

Формула (20) справедлива для случаев и

(в последнем случае используется выражение (21)

Причем есть отношение среднего квадратического отклонения к точному отсчету и, следовательно, является показателем точности, выражаемом в %.

Для случая произвольного интервала отклонений формула имеет вид:

(22)

Доверительный интервал.

Коэффициент ускорения испытаний:

- доверительная граница интервала значений Ky

- доверительная граница интервала значений Ky

где t_и - длительность ускоренных испытаний.

Рис.4. График, характеризующий ускоренные испытания.

Определение показателей точности для произвольной функции.

Результат R является функцией двух измеряемых переменных X и Y: R_с + r₁ = f (Хc+x1 ;Yc+y1).

Теорема Тейлора: Если функция y = f (x) в интервале [a , a+h] непрерывна и имеет непрерывные производные от 1^ой до n^ой включительно, то имеет место равенство:

т.е. можно рассматривать как сумму степенного ряда.

Рассмотрим только два члена ряда, тогда :

или поскольку R_с = f (Хc ;Y_с ):

где x и y в индексах обозначают отклонения от точных отсчетов.

∑x y стремится к нулю, и поэтому : (23)

Интервал неопределенности ω получаем из выражения

(24)

± ω- произвольный интервал отклонений – интервал, в котором могут находиться 50, 68, 95% всех отсчетов данного прибора.

Применение общего уравнения.

Уравнения (23) и (24) играют важную роль. Рассмотрим их применение на примерах :

1. Дано: Функция R = k X ^b , где k и b – постоянные.

Найти: Среднеквадратическое отклонение результата R при заданном среднеквадратическом отклонении S_x измеряемой переменной Х.

Решение: Из уравнения (24) находим dR / dX = b k X ^b-1 и S²_r = b² k² X ^2(b-1) S²_x

Разделив выражение S²_r на R = k X ^b, возведенное в квадрат, получим :

2. Дано: Функция

Найти: Вероятную ошибку для R

Решение: Имеем : и

Тогда по формуле (24) полагая, что ω = Ф, получим:

Для нахождения относительной ошибки делим на R²: Выполнив преобразования получим:

Примеры:

1. Дано: Момент асинхронного электродвигателя пропорционален напряжению U²(в квадрате).

Найти: Какой будет ошибка при определении момента М, если среднеквадратическое отклонение S_u напряжения составляет 2,5%.

Решение: M =kU² (формула в общем виде R = k X ^b); (формула в общем виде: ∙X ^b-1); (формула в общем виде: S²_r = b² k² X ^2(b-1) S²_x) ;

(формула в общем виде: )

Проведя сокращения получаем: или

Ошибка в определении момента будет равна 5%

2. Дано: Функция

R₁=75 ом с вероятностью ошибки ±5%, R₂=100ом с вероятной ошибкой ±3%.

Найти: Вероятную ошибку для R,

Решение: - общее уравнение.

В нашем случае:

Вычисляя получаем или 3,1% ; R = 42,9oм, тогда 3,1% составляет 1,33Ом.