Теория инженерного эксперимента
Случайные ошибки и неопределенности
Рис.1: а) - график зависимости средних значений измеряемой величины для каждого интервала ΔX (от числа x отсчетов, попадающих в каждый интервал); б) - кривая распределения ошибок (кривая Гаусса).
– частота
появления некоторого отклонения х,
где: y0 – частота появления нулевого отклонения;
η – постоянная, характеризующая данное нормальное распределение – модуль (или показатель) точности.
Определим площадь А под кривой путем интегрирования из следующего выражения:
Если
принять площадь А=1,т.е.
то
Вероятность Р появления отклонения, лежащего в интервале - x до + x выражается формулой:
(
при условии
А
= 1).
Вероятность,
что отклонение будет находиться в
интервале от - ηх
до +ηх:
Таблица значений вероятности ошибки Pηx
ηx
Pηx
ηx
Pηx
ηx
Pηx
0,00
0,000
0,477
0,500
0,90
0,797
0,05
0,056
0,50
0,521
0,95
0,821
0,10
0,113
0,55
0,563
1,00
0,843
0,15
0,168
0,60
0,604
1,10
0,880
0,20
0,223
0,65
0,642
1,20
0,910
0,25
0,276
0,70
0,678
1,30
0,934
0,30
0,329
0,707
0,682
1,40
0,952
0,35
0,379
0,75
0,711
1,50
0,966
0,40
0,428
0,80
0,742
2,0
0,955
0,45
0,476
0,85
0,771
1,000
Пример: Предположим, что показания тахометра отличаются относительно 1000 об/мин по нормальному закону и η = 0,04 (об/мин) –1. Если при этой скорости вращения берется выборка, содержащая 20 отсчетов, то такое число отсчетов будет находиться в интервале 990 – 1010 об/мин.
Решение: x = ±10 об/мин; ηx = 10 × 0,04 = 0,4;
Из таблицы находим, что Рηx = 0,428. Таким образом можно ожидать, что из 20 последовательных отсчетов 20 × 0,428 = 8,56 или 8 – 9 отсчетов будут в указанном интервале.
Показатели точности.
1.Среднеквадратическое отклонение σ или дисперсия σ2, равная квадрату среднеквадратического отклонения.
Для
нормального распределения
и
Для нормального распределения
Подставим их в формулу для определения σ и упростив его (таблица определенных интегралов) получим:
или
