16. Расчет комплексной частотной характеристики рекурсивной системы. Пример.

Частотной характеристикой дискретного фильтра называется отношение (8.36).

частотная характеристика совпадает с передаточной функцией на единичной окружности z-плоскости, т.е. при . Поэтому для рекурсивного фильтра получим (8.37),

В общем случае H(ejwT) – комплексная функция, которая может быть записана в виде (8.39),

где A(w) – модуль частотной характеристики – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), j(w) – аргумент частотной характеристики – фазочастотная характеристика (ФЧХ), R(w)=A(w)cosj(w), J(w)=A(w)sinj(w) – вещественная и мнимая части частотной характеристики. Производная от ФЧХ (8.40)

называется групповым временем замедления (ГВЗ).

Из теории дискретных систем вытекают ряд важных свойств частотных характеристик линейных дискретных фильтров.

1.Все частотные характеристики дискретных фильтров являются непрерывными периодическими функциями частоты с периодом wd=2p/T.

2.Для вещественных фильтров, т.е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ A(w) и ГВЗ t(w) представляют собой четные функции частоты, а ФЧХ j(w) – нечетную функцию частоты.

Из этого следует, что требования к частотным характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полупериода .

17. Дискретизированное по времени преобразование Фурье.

Спектральную плотность, или спектральную функцию, дискретного сигнала, называемую для упрощения спектром, можно найти, дискретизировав по времени преобразование Фурье соответствующего ему аналогового

сигнала.

Заменив t на nТд, интеграл на сумму и dtна

Тд, получим

18. Выбор подходящего класса дискретных фильтров. Сравнение бих и ких-фильтров.

Рекурсивные и не рекурсивные линейно дискретные системы относятся к классу БИХ(рекурсивный) и КИХ(нерекурсвный) фильтров.Уравнения выхода фильтров

Для бих

Для ких

Фильтр каждого типа можно представить через коэффициент его импульсной хар-ки h(n)

H(n) определяется коэффициентом B_i для ких фильтров. Для БИФ через коэффициенты B_i и a_k Для вычисления импульсной хар-ки КИХ фильтра потребуется определить время для вычисления всех коэфф h(n.) Для БИХ нужно затратить время так как значение H(n) зависит от b_i и a_k. Отличие БИХ от КИх в то что у БИХ фильтра есть обратная связь.

Поскольку проектирование цифровых фильтров основано на компромиссах для обеспечения желательной характеристики фильтра, результаты сравнения КИХ - и БИХ-фильтров могут помочь произвести отбор соответствующего проекта фильтра для его специфического применения. БИХ-фильтры могут обеспечить тот же самый уровень ослабления, что и КИХ-фильтры, но с гораздо меньшим числом коэффициентов. Поэтому БИХ - фильтр может обеспечить фильтрацию значительно быстрее и эффективнее, чем КИХ-фильтр.Можно проектировать КИХ-фильтры так, чтобы обеспечить линейность ФЧХ. В то же время БИХ-фильтры обеспечивают нелинейную ФЧХ. КИХ-филь - тры возможно использовать тогда, когда требуются линейные ФЧХ. Можно при­менять БИХ-фильтры тогда, когда не требуется информация об ФЧХ, таких, на­пример, как формирование сигнала для контроля и управления объектом.

Преимущества КИХ фильтров:

1. могут иметь линейную ФЧХ. 2. реализованные по нерекурсивному алгоритму всегда устойчивы. 3. реализованных по нерекурсивному алгоритму шумы квантования можно сделать приемлемо малыми. 4быть реализованы по рекурсивному алгоритму, если это необходимо.

Недостатки КИХ фильтров:

1.Длительность импульсной характеристики КИХ фильтра, несмотря на то, что она конечна, может оказаться достаточно большой для достижения резкого спада частотной характеристики на границе зоны пропускания. 2. Разработка КИХ фильтров более сложна чем разработка БИХ фильтров с аналогичными характеристиками.

Преимущества БИХ фильтров:

1. БИХ фильтры могут быть использованы для реализации цифровых аналогов классических видов аналоговых фильров, таких как фильтры Баттерворта, Чебышева и т.д.

2. При аналогичных характеристиках, БИХ фильтры имеют более простую реализацию по сравнению с КИХ фильтрами.

Недостатки БИХ фильтров:

1.БИХ фильтры более чувствительны к конечной разрядности вычислений, которая приводит у них к появлению колебаний т.н. «предельных циклов».

2.За исключением специального случая, когда все полюса передаточной функции лежат на единичной окружности z-плоскости, невозможно построить реализуемый стабильный БИХ фильтр, имеющий точно линейную ФЧХ.