14. Импульсная характеристика дискретных систем. Импульсная характеристика рекурсивной линейной дискретной системы. Пример.

Импульсная характеристика h(k) дискретной системы является откликом системы на единичную импульсную функцию x0(k), являющуюся аналогом дельта-функции при описании дискретных систем и представляющую собой единичный отсчет с единичным значением: (1)

Импульсная характеристика показывает реакцию дискретной системы на подачу на ее вход единичной импульсной функции. y0(k) = F(x0(k)) = h(k) (2)

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной системы: зная ее можно определить реакцию на любое воздействие.

Выведем формулу расчета отклика системы на произвольное воздействие x(k) через импульсную характеристику.

Воздействие x(k) можно записать в виде линейной комбинации единичных отсчетов: (3)

По свойствам линейной стационарной дискретной системы получаем:

- реакцией на единичную импульсную функцию x0(k) является импульсная характеристика дискретной системы h(k):x0(k) => h(k)

- по свойству инвариантности во времени, воздействию, задержанному на m отсчетов соответствует реакция, задержанная на такое же число отсчетов:

x0(k – m) => h(k – m)

- По свойству однородности умноженному воздействия на константу x(m) соответствует реакция, умноженная на ту же константу x(m)

x0(k – m)·x(m) => h(k – m)·x(m)

- По свойству аддитивности реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействия по отдельности:

То (4)Линейное уравнение, описываемое формулой 4, называется дискретной линейной сверткой.

В отличие от нерекурсивных фильтров рекурсивные фильтры содержат обратные связи. Примером рекурсивной системы может служить пример 2 из статьи «Несколько примеров дискретных линейных систем».

Порядок рекурсивной дискретной линейной системы определяется порядком разностного уравнения. В общем случае число коэффициентов b (равное n+1) и a (равное m+1) могут не совпадать, в этом случае порядок определяется наибольшим значением (если m>n – порядок m, в противном случае – порядок n).

Импульсная характеристика рекурсивной системы рассчитывается намного сложнее, чем для нерекурсивной в виду наличия обратных связей.

Подадим на вход рекурсивной системы, описываемой формулой 1 единичную импульсную функцию x0(k).

Тогда (исходя из свойств x0(k), которая равна 0 при всех k, отличных от 0 и равна 1 при k=0) h(0) = b0 h(1) = b1 + a1· h(0) = b1 + a1·b0

h(2) = b2 + a1· h(1) + a2· h(0) = b2 + a1· [b1 + a1·b0] + a2· b0

h(n)= aⁿ₁ *b0 – ИХ рекурсивного разносного уровнения 1 парядка.

Вычисление импульсной характеристики рекурсивного фильтра можно продолжать до бесконечности. По этой причине данные фильтры называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой или БИХ-фильтрами

15. Свойства преобразования Фурье. Теорема о периодической свертке

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей

формулой:

1. Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен: (2)

где - спектры сигналов и соответственно.

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

2. Временной сдвиг

Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е. , то спектр сдвинутого сигнала равен:

3. ДПФ циклической свертки сигналов

При выводе выражения (8) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

4. Спектр произведения двух сигналов

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , причем и - спектры сигналов .

Таким образом, спектр произведения сигналов представляет собой циклическую свертку спектров этих сигналов.

5. Свойство частотного сдвига

Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Таким образом получили, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

6. Инверсия спектра действительного сигнала

Инверсия по частоте спектра действительного сигнала, Если - спектр сигнала , Тогда сигнал с инверсным спектром, согласно (12) свойству о частотном сдвиге спектра равен

Таким образом, для инверсии спектра сигнала достаточно каждый второй отсчет сигнала умножить на минус единицу. При этом умножение на минус единицу четных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра вправо на спектральных отсчетов, а умножение нечетных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра влево на спектральных отсчетов

Выводы

Таким образом, мы рассмотрели основные свойства ДПФ: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов и проанализировали инверсию спектра и сигнала.

Одним из китов радиотехники, несомненно, является операция свертки: (1)

Свертка позволяет рассчитать сигнал на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой , при входном сигнале .

В случае циклической свертки предполагается, что дискретные сигналы и - периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда круговой сверткой сигналов и называется сигнал вида: