9. Линейные разностные уравнения с постоянными параметрами. Пример.

Важный класс систем описывается линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами

∑ a(k)*y(n-k) = ∑ b(k)*x(n-k)

k=0..p k=0..q

Обычно полагают а(0)=1(это не снижает общности, потому что всегда можно умножить или разделить все коэффициенты на одно и то же число) и иногда уединяют в левой части, получая:

y(n)= ∑ b(k)*x(n-k)- ∑ a(k)*y(n-k)

k=0..q k=1..p

Смысл его достаточно понятен. Этим уравнением утверждается, что выходной параметр y системы в определенный момент времени зависит от значений этого параметра в предыдущие моменты времени (или от скорости его изменения, изменения этой скорости, то есть ускорения и т.п.) и от значений входного параметра x в данный и предыдущие моменты. Зависимость эта притом полагается линейной. Предельная упрощенность такой модели не мешает ей достаточно точно представлять многие важные объекты (от траектории самолета до электроэнцефалограммы и от курса акций до голосового аппарата человека).

Пример: решение уравнения 1 порядка.

Y(n)=x(n)-3y(n-1)

B₀=1, b₁=0,a₀=3, a₁=0

Общий вид:

, x(k)={1,2,3},

Начальное условие: у(-1)=0

Пусть на вход системы подается сигнал: x(n)=n²+n, тогда

у(0)=х(0)-3(у-1)=0

у(1)=х(1)-3у(0)=2-3*0=2

у(2)=х(2)-3у(1)=6-6=0

у(3)=12-3*0=12

у(4)=-16

10. Рекурсивные линейные дискретные системы. Пример. Схема.

ЛДС называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов a_k линейного разностного уравнения не равен 0.

Отклик РЛДС определяется

а) текущим отсчетом хода

б) предыдущим значением хода

в) предыдущим значением выхода

y(n) = b₀X(n) + b₁X(n-1) – a₁y(n-1)

Особенности:

Поскольку стационарная система характеризуется импульсной характеристикой, отклики рекурсивной системы можно вычислить, используя понятия импульсной характеристики.

Пример. Вычислим импульснуюхар-ку РЛДС, которая описывается уравнением

y(n) = b₀X(n) – a₁y(n-1)

x(n) = U₀(n)

y(n) = h(n)

Преобразуетсяв h(n) = b₀U₀(n) – a₁h(n-1)

Вычислим несколько коэффициентов

h(0) = b₀U₀(0) – a₁h(-1) = b₀

h(1) = b₀U₀(1) – a₁h(0) = -a₁b₀

h(2) = b₀U₀(2) – a₁h(1) = -a₁(-a₁b₀)= (a₁)²b₀

Отсюда видно, что общая формула имеет вид:

h(n)=(-1)ⁿ(a₁)²b₀

Если n → ∞, то импульсная хар-ка РЛДС имеет бесконечную длительность (независимо от наличия входа, всегда будет выход). Такие системы относятся к БИХ-фильтрам.

Разностные уравнения, описывающие РЛДС, соответствуют вычислению свертки.

Подадим на вход случайный сигнал:

y(0) = b₀X(0) – a₁y(-1) = b₀X(0) = h(0)X(0)

y(1) = b₀X(1) – a₁y(0) = b₀X(1) – a₁b₀X(0)=

= h(0)X(1) + h(1)X(0)

y(1) = b₀X(2) - a₁y(1) = h(0)X(2) + h(1)X(1) + h(2)X(0)

y(n) = h(0)X(n) + h(1)X(n-2) + … + h(n)X(0)

Отсюда следует, что РЛДС есть устройство для вычисления свертки (конвольвер).

Структура разностного уравнения определяет схему конвольвера

11. Нерекурсивные линейные дискретные системы. Пример. Схема.

мы рассмотрели способ описания линейных дискретных систем с помощью линейного разностного уравнения:

y(k) = b0·x(k) + b1·x(k–1) + b2·x(k–2) + … + bn–– a1·y(k–1) – a2·y(k–2) – … – am·y(k–m) (1)

По формуле (1) видно, что отсчеты реакции системы являются линейной комбинацией входных отсчетов в текущий и предыдущие моменты времени и отсчетов реакции в предыдущие моменты времени. Чтобы реакция системы зависела от воздействия очевидно, что хотя бы один отсчет воздействия должен участвовать в вычислениях по формуле (1). В то же время задержанные отсчеты реакции могут и не участвовать в данных вычислениях. Такие дискретные системы называются нерекурсивными.

Система называется нерекурсивной в том случае, если все коэффициенты ak равны 0, т.е. реакция системы не зависит от реакции системы в предыдущие моменты времени.

y(k) = b0·x(k) + b1·x(k–1) + b2·x(k–2) + … + bn =

(2)

Иными словами нерекурсивная дискретная система не содержит цепей обратных связей.

Порядок нерекурсивной линейной дискретной системы определяется порядком разностного уравнения (в данном случае – n).

Получим импульсную характеристику нерекурсивного дискретного фильтра. Для этого рассчитаем реакцию системы на единичную импульсную функцию x0(k). Эта реакция и является импульсной характеристикой системы.

(3)

По свойствам единичной импульсной функции множитель x0(k-i) равен нулю при всех k отличных от i и равен единице при k = i.При этом условии получаем h(k)=bk (4)

Как мы видим из формулы (4), значения отсчетов импульсной характеристики нерекурсивной дискретной системы совпадают с коэффициентами bk разностного уравнения.

Пример: нерекурсивная линейная система 2 порядка.

Пример 2: найти отклик нерекурсивной системы, если на ее вход подается произвольный сигнал х(n):

y(n)=b₀x(n)+b₁x(n-1)+b₂x(n-2)

y(0)=b₀x(0)+b₁x(-1)+b₂x(-2)=h(0)x(0)

y(1)=b₀x(1)+b₁x(0)+b₂x(-1)=h(0)x(1)+h(1)x(0)

y(2)=b₀x(2)+b₁x(1)+b₂x(0)=h(0)x(2)+h(1)x(1)+h(2)x(0)