5. Дискретные системы. Примеры: идеальная система задержки; система без запоминания.
Дискретная система (или цифровой фильтр) – системы обработки цифрового сигнала заданного вектором x, называемого воздействием, преобразующая его в выходной вектор y, называемый реакцией или откликом системы в соответствии с преобразованием F.
Дискретная система называется линейной, если она обладает следующими свойствами: 1)принцип суперпозиция или свойство аддитивности, которое означает, что реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий по отдельности: F(x1+ x2 +…xn) = F(x1)+F(x2) +… F(xn) 2) свойство однородности, означающее, что реакция на воздействие умноженное на коэффициент K равна произведению реакции на воздействие (без умножения на K) и коэффициента: F(K·x) = K·F(x) Дискретная система называется стационарной, если задержка воздействия приводит лишь к такой же задержке отклика системы, т.е. параметры системы неизменны во времени - система обладает свойством инвариантности по отношению к началу отсчета времени. Т.е. если x(k) = x1(k – m); y(k) = F[x(k)]; y1(k) = F[x1(k)]; то y(k) = y1(k-m) Дискретная система называется физически реализуемой, если при нулевых начальных условиях реакция системы не может возникнуть раньше воздействия, т.е. реакция системы зависит только от текущего и предыдущих значений воздействия и не зависит от последующих значений воздействий.Идеальная система задержки (ИСЗ) определяется формулой y[n] = x[n-nd]приn Є Z.
Системой без памяти называется идеальная система задержки при nd=0.Такой системой будет, например,
y[n] = x[n]2приn Є Z
Если отклик системы формируется при каждом значении n и зависит только от отсчета с темже самым индексом n входа X(n) то эта система без запоминания :
y(n) = (x(n)2)
6. Дискретные линейные стационарные системы. Примеры: сумматор, система с запоминанием.
Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:
Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы (воздействие) —x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)
тогда сигнал на выходе системы (реакция) —y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)
для любых постоянных A и B, где yi(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) xi(t).
Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.
Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией(Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.). Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.
Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.
Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал Aexp(st) с некоторой комплексной амплитудой A и частотой s, то выход будет равен некоторому сигналу Bexp(st) с комплексной амплитудой B. Отношение B / A будет являться передаточной функцией системы на частоте s.
Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Пример:
,
x(k)={1,2,3},
n=1,
