50.Алгоритс бпф с прореживанием по времени.

Быстрое преобразование Фурье по основанию 2

Идея быстрых спектральных преобразований типо БПФ основана на том, что вычисление ДПФ N-точечной последовательности сводится к вычислению ДПФ последовательности длиной меньше чем N.

Шаги алгоритма:

1.Разбиение N-точечной последовательности на 2 части. В результате получаются две N/2 точечных последовательности.

2.Вычисление ДПФ двух N/2 точечных последовательностей.

3.Операция комбинирования с весовыми коэффициентами, полученными N/2 точечным БПФ.

Реальные алгоритмы БПФ реализуют разделение N/2 точечных последовательностей вновь на 2 части. Затем N/4 вновь делится на 2 и т.д. до тех пор, пока не сформируются 2-х точечные последовательности для которых вычисляется двух точечное ДПФ. После идет комбинирование двух точечных спектров.

Процесс разбиения последовательности на части с прореживанием по времени.

Пусть дана последовательность x(n)={x(0), x(1),…..x(7)}

Пусть х₁(n)-четные номера отсчетов, х₂(n)-нечетные номера отсчетов. Далее нужно разделить на четные и нечетные отсчеты х₁(n) и х₂(n). Реализация алгоритмов БПФ требует перестановки отсчетов. x(n)={x(0), x(1),…..x(N-1)}, сформируем последовательность четных отсчетов: x₁(n)=x(2l), где l – 0,1,…N/2-1;

x₁(n)= {x(0), x(2),…..x(N-2)},

для нечетных: x₂(n)=x(2l+1), где l – 0,1,…N/2-1; x₂(n)= {x(1), x(3),…..x(2N-1)}

Вычислим ДПФ заданной последовательности x(n), записав выражение:

=>

Т.е.

- ДПФ четной последовательности, - ДПФ нечетной последовательности.

Спектр N точечной последовательности равен X(k)=G(k)+W^kH(k) для 0<=k<=N/2-1 (позволяет вычислить спектральные коэффициенты только для значений от 0 до N/2-1). Для вычисления спектральных коэффициентов с параметрами N/2<=k<=N-1 нужно воспользоваться свойствами периодичности преобразования Фурье: G(k)=G(k+N/2) и аналогично H(k)=H(k+N/2). Заменим w^k, исходя из свойства периодичности ДПФ на -w^k.

Получаем:

Базовая операция БПФ с прореживанием по времени (бабочка)

51. Вычисление двумерной функции распределения трансформант.

Двумерная плотность распределения вероятностей p(x₁,t₁; x₂,t₂) определяет вероятность совместной реализации значений случайных величин Х(t₁) и Х(t₂) в произвольные моменты времени t₁ и t₂, что характеризует взаимосвязь случайного процесса в различные моменты времени и дает возможность определить характер изменения случайного процесса, т.е. динамику развития процесса во времени. Распределение описывает двумерную случайную величину {X(t_i), X(t_j)} в виде функции вероятности реализации случайной величины X(t_i) в бесконечно малом интервале dx_i в окрестностях x_i в момент времени t_i при условии, что в момент времени t_j значение X(t_j) будет реализовано в бесконечно малом интервале dx_j в окрестностях x_j:

p(x₁,t₁; x₂,t₂) = P{x₁ ≤ x(t₁) ≤ x₁+dx₁  x₂ ≤ x(t₂) ≤ x₂+dx₂ }.

С помощью двумерной плотности распределения вероятностей можно определить корреляционные функции процесса.

Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: Fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn), или плотность вероятности fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn).

Двумерные законы f2 (x1, x2; t1, t2), характеризуют не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)

;

средний квадрат (начальный момент второго порядка)

; (3)

дисперсия (центральный момент второго порядка)

;

корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса