3.Дискретизация и квантование сигналов. Способы отсчета значений сигнала. Нормированная частота.

Дискретизация-это процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчётов. А результат такого преобразования дискретным сигналом. Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке является дискретным рядом и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу. Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные(дискретные) моменты времени и называются отсчётами сигнала. Как правило, отсчёты берутся равными долями через равные промежутки времени Т, называемые периодом дискретизации(интервалом или шагом). Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретизации (f=1/T). При обработке сигнала ввычислительных уст-вах его отсчёты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчёты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчётов сигнала в числа называется квантованием по уровню, а возникшие при этом ошибки округления – ошибки квантования. Сигнал дискретный по времени но не квантованный по уровню называют дискретным, а сигнал дискретный по времени и квантованный по уровню, называют цифровым.. Квантование по уровню — представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от U_min  до U_max  делится на 2ⁿ интервалов. Каждому интервалу присваивается n-разрядный двоичный код — номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

4. Теорема дискретизации Найквиста-Котельникова. Выбор интервала дискретизации для нестационарных процессов.

Дискретизация — процесс преобразования непрерывного сигнала в последовательность дискретных значений.

Теорема Найквиста-Котельникова дает ответ на вопрос, какой частоты дискретизации f_s достаточно для того, чтобы не произошло потери информации, т.е. чтобы по дискретизованному сигналу можно было восстановить исходный. В доказательстве теоремы и далее будет использоваться операция свертки функций I(x), J(x), определяемая так:

Т еорема : Для того чтобы сигнал I(x) можно было восстановить по его дискретному образу, его спектр должен быть ограничен максимальной частотой f_H и частота дискретизации f_s должна быть более 2f_H. Доказательство использует факты из математического и функционального анализа (см. например[3]). Пусть I_s(x) - дискретный образ исходного сигнала I(x), как обычно, T = 1/f_s - период дискретизации, тогда

Образом функции Comb в частотной области является функция: а Фурье-образ I(x) по-прежнему будем обозначать F(f). Умножение функций в пространственной области соответствует их свертке (будем обозначать ее  ) в частотной и наоборот. Соответственно, рассмотрим свертку F и FComb, являющуюся Фурье-образом I_s(x) (обозначим егоF_s(f) ):

где переход (1) произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Как видно из последнего выражения, F_s(f) представляет собой бесконечную сумму функций F(f), умноженных на f_s и сдвинутых на f_s относительно друг друга, поэтому при условии f_д > 2W носители соседних сдвинутых версий не пересекаются, и отдельно, взяв центральную копию F(f) (k = 0) и применив к ней обратное преобразование Фурье, можно получить исходный сигнал I(x). Центральная копия берется путем умножения F_s(f) на прямоугольную функцию  , где

Т.е.  , - образ исходной функции получен. Заметим, этому умножению в частотной области соответствует свертка в пространственной области. Применив обратное преобразование Фурье к  , получим функцию Применив свертку с I_s(x), получаем

где переход (2) также произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Последняя формула называется Интерполяционной формулой Найквиста-Шеннона.Для завершения доказательства осталось показать, что невозможно однозначно восстановить сигнал при  .

интервал дискретизации для нестационарных процессов (процесс с изменяющимися во времени статистическими свойсвами) должен быть меньше времени корреляции. время корреляции - время когда корреляция = 1. те другими словами: выборку сигнала нужо делать быстрее чем он изменяется.