36. Дисперсионная фильтрация сигналов и изображений. Пример.

Выполнение зональной фильтрации трансформант требует априорного знания функции распределения двухмерной дисперсии коэффициентов преобразования

,

где - знак кронекеровского произведения матриц; и - диагональные ковариационные матрицы соответственно столбцов и строк коэффициентов преобразования. Так как ковариационные матрицы в области оригиналов и в области изображений связаны преобразованием подобия, то и определяются из выражений

,

.

После лексикографического преобразования матрицы формируется матрица, определяющая зону отбора трансформант. Восстановление исходного фрагмента изображений с помощью обратного спектрального преобразования реализуется в соответствии с дисперсионным критерием, когда сохраняется множество трансформант, обладающих наибольшими дисперсиями, задаваемыми выбранной зонной фильтрации.

37. Вычисление циклической дискретной автосвертки последовательности с помощью дпф.

Чтобы подобрать количество точек N ДПФ, обратим внимание на рис. 10.24.

На рис. 10.24, а) изображены две последовательности х[n] и х[n+m] при некоторых положительных значениях m. Последовательности х[n] и х[((n+m))N], участвующие в вычислении циклической автокорреляции, соответствующей квадрату |Х[k]|², приведены на рис. 10.24, б). Ясно, что циклическая автокорреляция будет совпадать с Qφ_xx[m] при 0≤m≤М-1, если х[((n + m))N] не закручивается и не перекрывается с х[n] при 0≤m≤М-1. Из рис. 10.24, б) следует, что это условие будет соблюдено при N-(М-1)≥Q, или N≥Q+M-1.

Рис. 10.24. Вычисление циклической автокорреляции: а) отсчеты ж[п] и ф|т] для конечной последовательности длины Q; б) отсчеты х[n] и х[((n + m))N], участвующие в определении циклической автокорреляции

Таким образом, значения φ_xx[m] при 0≤m≤М-1 можно вычислять по следующей схеме

1. Увеличиваем длину последовательности х[n], продолжая ее (М-1) нулевыми отсчетами.

2. Вычисляем N-точечное ДПФ

3. Находим

4. Применяя обратное ДПФ к |Х[k]|², получаем

5. Делим вычисленную последовательность на Q и приходим к автокорреляционной оценке

На отрицательные значения m эта оценка распространяется по симметрии. При малом М более эффективным может оказаться прямое вычисление формулы (10.100). В этом случае количество арифметических операций пропорционально произведению QM. С другой стороны, если ДПФ в этом алгоритме вычислять с помощью одного из алгоритмов БПФ, описанных в главе 9, с N≥Q+М-1, где N — степень двойки, то сложность всей процедуры будет пропорциональна N log₂ N. Следовательно, при достаточно больших значениях М привлечение алгоритмов БПФ оказывается более выгодным, нежели прямое вычисление (10.100). Точное пограничное значение М будет зависеть от конкретной реализации вычисления ДПФ, однако, как показал Стокхэм [147], это значение, скорее всего, будет меньше сотни. Необходимо помнить, что для уменьшения дисперсии оценки автокорреляционной последовательности или оценки спектра мощности мы должны использовать большие значения длины записи Q. В этих случаях эффективное вычисление (N=Q+М-1)-точечного ДПФ может оказаться неудобным или даже невозможным. Но обычно М много меньше Q. Поэтому имеет смысл разбивать последовательность х[n] на участки, как описано в подразделе 8.8.3, где обсуждалась свертка конечной импульсной характеристики с входной последовательностью неопределенной длины. Рэйдер [127] предлагает особенно эффективную и гибкую процедуру, в которой многочисленные свойства ДПФ вещественнозначной последовательности позволяют уменьшить общий объем вычислений. Как только автокорреляционная оценка будет найдена, можно вычислить отсчеты спектральной оценки S(ω) в частотах ω_k= 2-πk/N и сформировать последовательность

где ω_c [m] — симметричное окно. Заметим, что N можно выбирать настолько большим, насколько это удобно и выгодно, обеспечивая необходимое расстояние между частотами отсчетов S[k]. Тем не менее частотная разрешимость всегда определяется длиной и формой окна ω_c[m].