32. Дискретное преобразование Уолша-Адамара. Свойства.

Преобразованию Фурье в базисе гармонических функций присущ определенный недостаток. Даже при наличии алгоритмов БПФ сохраняется необходимость в выполнении большого количества умножений. Значительное упрощение можно достичь, если в качестве базисных использовать кусочно-постоянные функции. Одними из таких функций являются функции Уолша–Адамара.

Исторически сложилось так, что в основе функций Уолша–Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара H_N, которые определяются по простому правилу:

, и т.д.

Прямое ДПУА имеет вид

где: H_N - ортогональная бинарная матрица Адамара (NхN).

Обратное дискретное преобразование Уолша–Адамара в матричном виде запишется как

Рассчитаем спектр последовательности с помощью ДПУА для заданной последовательности {X(m)}={1,0,3,4 }.

Рассчитаем обратное ДПУА:

Вычислительная сложность ДПУА: N(N-1)

Свойства

1. Ортогональность

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда,

2. Мультипликативность

Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша.

где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда,

33.Ортогональные преобразования. Базисные функции ядра унітарного преобразования Хартли

Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) нашло широкое применение благодаря своей универсальности.

Оно устанавливает связь между временным и частотным представлениями сигнала при разложении его по гармоническим дискретно-экспоненциальным функциям. Если {X(m)} означает последовательность X(m), где m=0,1,…,N-1 конечных действительных или комплексных чисел, то дискретное преобразование Фурье этой последовательности определяется как :

, k =0, 1, …,N –1,где W=e^-i2р/N – поворачивающий множитель.

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется как m =0, 1, …,N –1

Линейные ортогональные преобразования характеризуется тем, что между элементами изображения устраняются статистические зависимости и распределение энергии в преобразованном спектральном фрагменте является неравномерным. Эти особенности используются в процессах кодирования.

Преобразованию Фурье в базисе гармонических функций присущ определенный недостаток. Даже при наличии алгоритмов БПФ сохраняется необходимость в выполнении большого количества умножений. Значительное упрощение можно достичь, если в качестве базисных использовать кусочно-постоянные, меандровые функции. Одними из таких функций являются функции Уолша–Адамара.

И сторически сложилось так, что в основе функций Уолша–Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара H_N, которые определяются по простому правилу:

Прямое дискретное преобразование Уолша–Адамара имеет вид

где: H_N - ортогональная бинарная матрица Адамара (NхN):

Обратное дискретное преобразование Уолша–Адамара в матричном виде запишется как

Преобразование Хартли относится к линейному ортогональному преобразованию. Прямое и обратное одномерное преобразование Хартли записывается следующим образом:

где

Преобразование Хартли равно разности веществен­ной и мнимой составляющих преобразования Фурье. В отличие от преобразования Фурье, в преобразовании Хартли отсутствует ком­плексная арифметика, обработка данных осущест­вляется только в области вещественных чисел. Это значительно сокращает объем вычислений, так как одно комплексное умножение эквивалентно четырем операциям действительного умножения и двум операциям сложения, которые необходимы в случае преобразования Фурье.

Унитарное преобразование – преобразование, сохраняющее норму сигнала. Вещественное унитарное преобразование называется ортогональным. Его базисные функции ортогональны между собой. Св-во ортогонального преобразования : простая формула вычисления обратного преобразование.