27. Дискретное преобразование Фурье. Свойства дпф. Теорема о корреляции.

Дискретное преобразование Фурье.

Прямое преобразование:

, k =0, 1, …,N –1, где

W=e^-i2р/N – поворачивающий множитель N – количество дискретных отсчетов сигнала C(k) - N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов x(n) — измеренные значения сигнала которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного

Обратное преобразование:

n =0, 1, …,N –1, где

W=e^i2р/N – поворачивающий множитель

1. Линейность Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен: (2)

где - спектры сигналов и соответственно.

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

2. Временной сдвиг Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е. , то спектр сдвинутого сигнала равен:

3. ДПФ циклической свертки сигналов

При выводе выражения (8) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

4. Спектр произведения двух сигналов

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , причем и - спектры сигналов .

Таким образом, спектр произведения сигналов представляет собой циклическую свертку спектров этих сигналов.

5. Свойство частотного сдвига

Произведем циклический сдвиг спектра и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Таким образом получили, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Теорема о корреляции.

Взаимнокорреляционная функция рассчитывается так: . Спектр последовательности R(n) по определению ДПФ находится: . Так как пределы суммирования одинаковы (от 0 до N-1), и используя свойство инвариантности ДПФ относительно к сдвигу во времени, запишем: . Таким образом, вычислению корреляционной функции во временной области соответствует умножение в спектральной области Фурье-образов рассматриваемых процессов.

В общем случае теорема о корреляции определяется так:

28. Соотношения двойственности преобразования Фурье.

Выясним теперь свойства преобразования Фурье. Допустим, требуется произвести обратное преобразование - из частотных составляющих сформировать исходный сигнал. Для этого справедливы приведённые ниже формулы:

Коэффициенты ReX[k] и ImX[k] определяются по следующим формулам:

Такой процесс преобразования называется синтезом или обратным преобразованием Фурье. Заметим, что формулы обратного преобразования аналогичны формулам прямого преобразования, только теперь подынтегральной функцией являются коэффициенты при синусах и косинусах. Это свойство является очень важным и называется двойственностью преобразования Фурье. Свойство двойственности позволяет объяснить следующий факт: единичный импульс во временном домене (единичное значение одной выборки при нулевых значениях остальных) соответствует синусоиде и косинусоиде в частотном домене и наоборот (рис.). Во втором случае всё понятно - имеется один коэффициент при синусе или косинусе - это значит, что исходный сигнал (выборка) содержит составляющую одной частоты синусоидальной или косинусоидальной формы. Первый же случай может быть объяснён на основе двойственности преобразования Фурье. Описанный факт используется при построении алгоритма быстрого преобразования Фурье. Дело в том, что приведённые выше формулы для прямого и обратного преобразований имеют временную сложности реализующих их алгоритмов порядка O(n^2). Таким образом, при больших объёмах выборки, не удаётся за реальное время произвести преобразование Фурье. Для этой цели в середине 60-х годов был разработан алгоритм быстрого преобразования Фурье, который описывается в конце статьи