25. Дискретные экспоненциальные функции. Свойства функций дэф

В Цос используется экспоненцианальная функция где Т –период дискретизации

Нормированная частота:

Дискретные экспоненциальные функции определяется значением дискретного времени n. W-непрерывная величина, т.к она получается из выражения

ДЭФ переодична если период Т=2П

26. Метод окон. Стандартные весовые функции (окна). Пример вычисления коэффициентов импульсной характеристики ких – фильтра нч.

Простейший метод разработки КИХ-фильтров называется оконным методом. Как правило, он начинается с задания идеальной КЧХ, которая может быть записана как:

где h_d[n] — соответствующая импульсная характеристика со следующей зависимостью от :

Многие идеализированные системы имеют кусочно-постоянную или кусочно-непрерывную КЧХ с точками разрыва в граничных точках между критичными полосами частот. В результате импульсная характеристика таких систем недетерминирована и бесконечна. Большинство прямых способов получения детерминированной КИХ-аппроксимации систем заключается в обрезании идеальной импульсной характеристики. Формулу (7.49) можно представлять себе как ряд Фурье периодической КЧХ , где члены последовательности h_d[n] играют роль коэффициентов этого ряда.

Простейший способ проектирования детерминированного КИХ-фильтра на основе заключается в определении новой системы с импульсной характеристикой

которую можно записать в более общем виде как произведение идеальной импульсной характеристики и конечного «окна»

В случае простого усечения, определенного формулой (7.51), окно имеет вид прямоугольника (прямоугольное окно):

7.53

Теорема о преобразовании Фурье произведения (см. подраздел 2.10.7) говорит о том, что:

И

ными словами, — периодическая свертка желаемой идеальной КЧХ с Фурье-образом окна, так что КЧХ — «смазанная» версия идеальной характеристики . На рис. 7.18, а) показаны графики типичных функций и , фигурирующих в интеграле (7.54).

Рис 7.18 а) процесс свертки, обеспечивающий усечение идеальной импульсной характеристики; б) типичная аппроксимация, получающаяся оконным методом, из идеальной импульсной характеристики

Если w[n] = 1 для всех n (т.е. усечения вообще не происходит), — -периодическая цепочка импульсов и, следовательно, Следовательно, если Фурь-образ окна сконцентрирован в узкой полосе частот, окружающих , то КЧХ «похожа» на идеальную почти всюду, за исключением окрестностей точек разрыва . В связи с этим при выборе окна руководствуются двумя соображениями: во-первых, оно должно быть достаточно коротким для обеспечения небольшого объема вычислений при реализации фильтра; а, во-вторых, Фурье-образ окна должен быть сконцентрирован в узкой полосе частот, чтобы свертка (7.54) как можно более точно воспроизводила идеальную КЧХ. В противоречивости этих условий легко убедиться на примере прямоугольного окна (7.53), где

График модуля функции при M=7 изображен на рис. 7.19. Заметим, что в случае прямоугольного окна обладает обобщенной линейной фазой.

При возрастании М ширина «главного лепестка» уменьшается. Главный лепесток Фурье-образа окна обычно определяется как область между ближайшими к началу координат точками пересечения его графика с горизонтальной

координатной осью (см. рис. 7.19). Если окно имеет прямоугольную форму, то ширина главного лепестка равна . Однако в этом случае боковые лепестки получаются довольно большими, и, фактически, при возрастании М всплески амплитуды главного и боковых лепестков растут, а их ширина сокращается; причем площадь, которую они ограничивают, сохраняется постоянной. Следовательно, в окрестности точек разрыва идеальной КЧХ свертка

сильно осциллирует, что легко увидеть на рис. 7.18, б). Так как площадь под каждым лепестком остается постоянной, то при росте М колебания будут становиться все более резкими, но неуменьшающимися по амплитуде.

И з теории рядов Фурье известно, что неравномерность сходимости, приводящая к эффекту Гиббса, может быть уменьшена, если использовать менее резкое усечение ряда. Сглаживая вертикальные границы окна, можно уменьшить высоту боковых лепестков, однако это приводит к более широкому главному лепестку и, тем самым, к более широкой переходной полосе в окрестности точек разрыва.

Графическое представление:

С тандартные окна и их св-ва.

Б арлетта: 7.57

Х еннинга: 7.58

Х емминга: 7.59

Б лекмана: 7.60

В главе 10 мы увидим, что окна, определенные формулами (7.5б)-(7.60), обычно используются как в спектральном анализе, так и при проектировании КИХ-фильтров, что обусловлено их замечательными свойствами: во-первых, Фурье-образ окон сконцентрирован в окрестности частоты , а во-вторых, он описывается простыми формулами, что сильно упрощает вычисления. Фурье-образ окна Барлетта выражается как произведение преобразований Фурье прямоугольных окон, а Фурье-образ остальных — как сумма сдвинутых по частоте копий Фурье-образа все того же прямоугольного окна.

0 дБ

В логических типах значения амплитуд основных выбросов и боковых лепестков будет обозначаться . В этом случае деление каждого значения на первый отсчёт приводит к тому, что это значение начальная частота 0.

-10 дБ

Изображение окна Хеминга.

-50 дБ

2π/N

3π/N

4π/N

5π/N

6π/N

Пример: f_c=1500Гц, ω_с=2π/500 рад/с, затухание -50дБ, f_д=8000 кГц.

1) Вычислим нормированное значение ширины полосы перехода фильтра:

2) Ширена полосы перехода фильтра с весовой ф-цией Хеминга и число коофицентов импульсной х-ки фильтра N связных соотношений:

3)Вычисляем значения отсчётов функции окна Хэминга . Для удобства вычисляемое окно задано на интервале ;

4) Проектируемый идеальный ФНЧ имеет коофицент:

5) В следствие эффекта размывания идеальной частотной харатерристики, вносимого весовой функцией, частота среза реального фильтра будет отличаться от представленной в спецификации.

6) Поскольку выбранная весовая функция и импульсная характеристика обладают симметрией относительно n=0 то необходимо вычислить только половину коофицентов импульсной характеристики.

7) Вычислим несколько значений коофицентов импульсной характеристики реального фильтра:

n=0: а) n=26: а)

б) б)

в) в)

n=1: а)

б)

в)