21. Метод весовых функций. Расчет частотной характеристики прямоугольного окна. Эффект Гиббса.

Для уменьшения растекания спектра при ДПФ применяются весовые функции, которые также называют окнами. В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию , которая должна спадать к краям сегмента. Формула прямого ДПФ при использовании весовых функций принимает следующий вид:

Проанализируем ситуацию во временной области. Если используется весовая функция, которая имеет максимум в середине (k=N/2) и плавно спадает к краям(k=0 и k=N-1), то это приведет к ослаблению эффектов, связанных с возникновением скачков сигнала при периодическом повторении анализируемой конечной последовательности, и таким образом, к уменьшению растекания спектра.

Проанализируем ситуацию во частотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и весовой функции. Это приведет к тому, что пики, содержащиеся в спектре сигнала несколько расширяются. Однако при этом становится возможным уменьшить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью применения весовых функция. Выбирая весовую функцию w(k) определенным образом можно уменьшить уровень боковых лепестков частотной характеристики фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ, платой за это является расширение центрального лепестка частотной характеристики.

Оценим ширину главного лепестка Фурье-образа прямоугольного окна. Для этого вычислим значение частоты, когда возникает первый 0.

Поэтому ширина главного лепестка амплитудно-частотной характеристики будет равна С увеличением М ширина будет уменьшаться.

Эффект Гиббса – в точке разрыва сходимость ряда Фурье не является равномерной и носит особый характер, который выражается в появлении пульсаций вблизи точки разрыва, максимум которых слева и справа составляет около 9% от АЧХ(амплитудно-частотная характеристика) и остается таким вне зависимости от N(длина импульсной характеристики)

23. Структурная схема ких-фильтра.

КИХ-фильтр -один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи.

Разностное уравнение КИХ фильтра не содержит рекурсивной части: (2)

x(k) — входной сигнал

y(k) — выходной сигнал

bm-коэфициент фильтра

Выражение (2) получается из выражения (1) при a₀ =1 и a_m =0, m>0.

Структурная схема нерекурсивного КИХ-фильтра показана на рисунке 2.

Рисунок 2: Структурная схема нерекурсивного КИХ-фильтра

КИХ фильтр порядка содержит линий задержки и коэффициент. Если коэффициент , то получим КИХ фильтр порядка у которого умножение на будет тривиальным. Импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда конечна и полностью совпадает с коэффициентами фильтра.

24. Импульсная характеристика идеального фнч.

У идеального фильтра нижних частот амплитудно-частотная характеристика имеет прямоугольную форму, т.е.

(6.2)

а фазо-частотная характеристика - линейна. То есть идеальный ФНЧ с одинаковым коэффициентом передачи пропускает все частотные составляющие спектра входного сигнала в пределах полосы пропускания и полностью отфильтровывает (подавляет) составляющие с частотами .