Элементы математической статистики

Решение типового варианта

Задание I

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:

Требуется:

1. записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

2. найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;

3. построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

4. найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);

5. приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости ;

6. найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .

44,8	46,2	45,6	44,0	46,4	45,2	46,7.	45,4	45,3	46,1
44,3	45,3	45,6	46,7	44,5	46,0	45,7	45,0	46,4	45,9
44,4	45,4	46,1	43,4	46,5	45,9	43,9	45,7	47,1	44,9
43,8	45,6	45,2	46,4	44,2	46,5	45,7	44,7	46,0	45,8
44,3	45,5	46,7	44,9	46,2	46,7	44,6	46,0	45,4	45,0
45,4	45,3	44,1	46,6	44,8	45,6	43,7	46,8	45,2	46,1
44,5	45,4	45,1	46,2	44,2	46,4	45,7	43,9	47,2	45,0
43,9	45,6	44,9	44,5	46,2	46.7	44,3	46,1	47,7	45,8
45,6	45,2	44,2	46,0	44,7	46,5	43,5	45,4	47,1	44,0
46,2	44,2	45,5	46,0	45,7	46,4	44,6	47,0	45,2	46,9

Решение:

1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.Е. Записываем вариационный ряд:

43,4	43,5	43,7	43,8	43,9	43,9	43,9	44,0	44,0	44,1
44,2	44,2	44,2	44,3	44,3	44,3	44,4	44,5	44,5	44,5
44,6	44,6	44,7	44,7	44,8	44,8	44,8	44,9	44,9	44,9
45,0	45,0	45,1	45,2	45,2	45,2	45,2	45,2	45,3	45,3
45,3	45,4	45,4	45,4	45,4	45,4	45,4	45,5	45,5	45,6
45,6	45,6	45,6	45,6	45,7	45,7	45,7	45,7	45,7	45,7
45,8	45,8	45,9	45,9	46,0	46,0	46,0	46,0	46,0	46,0
46,1	46,1	46,1	46,1	46,2	46,2	46,2	46,2	46,2	46,4
46,4	46,4	46,4	46,4	46,5	46,5	46,5	46,6	46,7	46,7
46,7	46,7	46,7	46,8	46,9	47,0	47,1	47,1	47,2	47,7

2). Находим размах варьирования: .

Иногда для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному . Число таких интервалов определяется формулой . В качестве границы первого интервала можно выбрать значение . Тогда границы следую­щих частичных интервалов вычисляем по формуле , где принимает значения от 1 до .

В нашем примере . Объём выборки , тогда . Примем за . Следовательно, разобьем наш вариационный ряд на интервалов.

Находим середины интервалов: . Подсчитываем число значений результатов эксперимента, по­павших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов . Далее вычисляем относительные частоты и их плотности . Все полученные результаты помещаем в таблицу (табл. 1).

Таблица 1.

Номер частичного ин­тервала i	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала	Относитель­ная частота	Плотность относитель- ной частоты
1	43,40 – 43,96	43,68	7	0,07	0,13
2	43,96 – 44,52	44,24	13	0,13	0,23
3	44,52 – 45,08	44,80	12	0,12	0,21
4	45,08 – 45,64	45,36	22	0,22	0,39
5	45,64 – 46,20	45,92	25	0,25	0,45
6	46,20 – 46,76	46,48	14	0,14	0,25
7	46,76 – 47,32	47,04	6	0,06	0,11
8	47,32 – 47,88	47,60	1	0,01	0,02
		–	100	–

3). Строим полигон частот – ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).

Рис. 1. Полигон частот

Рис.2. Гистограмма относительных частот

Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .

Итак, по определению,

,

где - число вариант, меньших ; - объём выборки.

, , ,

, , ,

, , .

Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3).

Рис. 3. График эмпирической функции распределения

4). Находим выборочное среднее:

и выборочную дисперсию: .

Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2.

	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала
1	43,40 – 43,96	43,68	7	305,76	1907,94	13355,60
2	43,96 – 44,52	44,24	13	575,12	1957,18	25443,31
3	44,52 – 45,08	44,80	12	537,60	2007,04	24084,48
4	45,08 – 45,64	45,36	22	997,92	2057,53	45265,65
5	45,64 – 46,20	45,92	25	1148,00	2108,65	52716,16
6	46,20 – 46,76	46,48	14	650,72	2160,39	30245,47
7	46,76 – 47,32	47,04	6	282,24	2212,76	13276,57
8	47,32 – 47,88	47,60	1	47,60	2265,76	2265,76
		–	100	4544,96	–	206653

Из нее получаем: , , .

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой гене­ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:

, .

5). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.

По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:

1. вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;

2. по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;

3. если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;

если – нулевую гипотезу отвергают.

Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эм­пирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем , т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы ин­тервалов: и . Наи­меньшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу (табл. 3). Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервал с частотой .

Таблица 3.

	Границы интервала				Границы интервала
1	43,40 44,96		–	-0,49		-1,31
2	43,96 44,52		-0,49	-0,93	-1,31	-1,02
3	44,52 45,08		-0,93	-0,37	-1,02	-0,41
4	45,08 45,64		-0,37	0,19	-0,41	0,21
5	45,64 46,20		0,19	0,75	0,21	0,82
6	46,20 46,76		0,75	1,31	0,82	1,44
7	46,76 47,88		1,31	–	1,44

Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу (табл. 4). Значения функции берём из прил.1.

Таблица 4.

	Границы интервала
1		-1,31	-0,5000	-0,4049	0,0951	9,51
2	-1,31	-1,02	-0,4049	-0,3461	0,0588	5,88
3	-1,02	-0,41	-0,3461	-0,1591	0,1870	18,70
4	-0,41	0,21	-0,1591	0,0832	0,2423	24,23
5	0,21	0,82	0,0832	0,2939	0,2107	21,07
6	0,82	1,44	0,2939	0,4251	0,1312	13,12
7	1,44		0,4251	0,5000	0,0749	7,49
	–	–	–	–	1	100

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (табл. 5). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле:

Таблица 5

1	7	9,51	-2,51	6,3001	0,6625	49	5,1525
2	13	5,88	7,12	50,6944	8,6215	169	28,7415
3	12	18,70	-6,70	44,89	2,4005	144	7,7005
4	22	24,23	-2,23	4,9729	0,2052	484	19,9752
5	25	21,07	3,93	15,4449	0,7330	625	29,6630
6	14	13,12	0,88	0,7744	0,0590	196	14,9390
7	7	7,49	-0,49	0,2401	0,0321	49	6,5421
	100	100	–	–	12,7138	–	112,7138

Контроль: .

По таблице критических точек распределения (см. прил. 3), уровню значимости и числу степеней свободы ( – число интервалов) нахо­дим: .

Так как , то гипотеза о нормальном распре­делении генеральной совокупности принимается.

6). Если случайная величина генеральной совокупности распределена нор­мально, то с надежностью можно утверждать, что математи­ческое ожидание случайной величины покрывается доверительным интервалом , где – точность оценки. Значение определяется из условия , т.е. .

В нашем случае: , , , , . Из прил.1 находим , . Доверитель­ным интервалом для будет . Доверитель­ный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклоне­ние с заданной надежностью : , где находится по данным и из прил. 2. При и имеем: . Доверительным интервалом для будет .