Лекция 2. Основные понятия классической механики.

Аксиомы динамики

Основу классической механики составляют принятые как аксиомы законы Ньютона, опубликованные им в 1686 году в труде «Математические начала натуральной философии».

1. Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, по отношению к которым тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Эта аксиома (первый закон Ньютона) постулирует возможность существования тел и систем отсчета, движущихся без ускорения, т.е. равномерно и прямолинейно. Причем любая из них может быть принята за неподвижную при решении задач динамики. Поскольку никакие тела не являются изолированными от воздействия, поэтому существование инерциальных систем является аксиомой.

Принцип относительности Галиллея. Все механические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени и физические законы одинаковы.

Во всех инерциальных системах пространство однородно и изотропно, время однородно.

Отсюда следуют законы (аксиомы) сохранения.

Взаимодействие между телами и сигналы, передающие информацию, могут распространяться мгновенно. События во всех инерциальных одновременны.

При переходе от одной инерциальной системы к другой координаты и время подчиняются преобразованиям Галилея. x` = x –vt, y` = y, z` = z, t` = t. Время не преобразуется, оно имеет абсолютный характер. Существует скалярный инвариант:

Первый закон Ньютона является независимым законом, выражающим критерий пригодности системы отсчета для рассмотрения движений.

2. Ускорение материального тела относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к телу силе и совпадает с ней по направлению.

Коэффициент пропорциональности характеризует инертные свойства тела и называется массой. Эта аксиома (второй закон Ньютона) устанавливает причину нарушения инерциального состояния тела (действие на них других тел), а также соотношение между ускорением и силой.

3. Сила взаимодействия двух тел направлена по прямой, соединяющей эти тела, в противоположные стороны и равны по модулю. Эта аксиома (третий закон Ньютона) устанавливает условия взаимодействия между телами.

Формулировка третьего закона в виде требования сохранения суммарного импульса участвующих во взаимодействии тел и полей является более физически содержательной, чем формулировка в виде требования сил действия и противодействия. Третий закон имеет более глубокое содержание:

Отсюда следует, что . Третий закон можно сформулировать как требование сохранения импульса взаимодействующих тел, если нет никаких внешних сил.

4. Ускорение, получаемое под действием системы сил, равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил. Эта аксиома постулирует принцип суперпозиции сил или принцип независимости действия.

Принцип относительности Эйнштейна. Все физические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорость взаимодействия и передачи сигнала ограничена скоростью света.

Существует инвариант скалярный:

При переходе от одной инерциальной системы к другой координаты и время подчиняются преобразованиям Лоренца:

Способы задания движения точки.

А) Естественный – задана траектория точки и закон изменения положения точки s(t).

Если траектория известна, то задать движение точки можно естественным способом. Для этого необходимо зафиксировать на траектории точку отсчета и указать уравнение движения на траектории в виде s = s(t). Это уравнение определяет текущее положение точки на траектории, при этом может быть установлена однозначная связь между значением координаты и радиус-вектором точки в системе отсчета, в которой определена траектория движения точки. Тогда радиус-вектор может быть представлен в виде функциональной зависимости от параметра s в виде .

Б) Координатный – задаются функции изменения координат по времени в некоторой (например, декартовой) системе координат: x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти уравнения одновременно являются и уравнениями движения и уравнениями траектории точки в параметрической форме, где параметром является время. Чтобы найти уравнение траектории надо исключить время.

Проведем из начала координат радиус-вектор и выразим его через координаты точки

. Координаты точки есть проекции на оси координат.

В полярной системе координат уравнения движения точки задаются в следующем виде

, . , ,

В)Векторный –задается вектор-функция .

Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета можно радиус-вектором точки Он является векторной функцией времени и представляет собой уравнение движения в векторной форме.

Центр масс (инерции) системы материальных точек

Центром масс (инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка С пространства, определенная радиус-вектором или , , где M – масса системы.

Момент инерции материальной точки относительно центра системы отсчета

Моментом инерции m_i – ой материальной точки относительно центра системы отсчета называется величина , где _i - расстояние до центра.

Момент инерции материальной точки относительно оси

Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется величина

, где - расстояние до оси. Моментом инерции системы материальных точек относительно оси z называется величина

, где - расстояние до оси.

Момент инерции тела относительно оси , где (в декартовых координатах).

Пример. Момент инерции стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через центр, равен , m/l - масса единицы длины стержня.

Момент инерции цилиндра массы M и радиуса R относительно оси, проходящей через центр, равен ,

Момент инерции тела зависит от выбора оси. Если известен момент относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси может быть найден по формуле Гюйгенса (Штейнера) , где d – расстояние между осями.

Понятие силы. Сложение сил. Главный вектор силы.

Силы потенциальные.

Силу, которая зависит только от координат и времени, и может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции . называют потенциальной.

Силы гироскопические. Гироскопической силой называется сила, линейно зависящая от скорости точки и направленная всегда перпендикулярно этой скорости. Работа гироскопических сил всегда равна нулю. Сила Кориолиса.

Силы диссипативные Диссипативной силой . называется сила, направленная противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение этого тела. Такая сила имеет вид. . Изменение полной энергии системы: . Если . , то _.

Момент силы

Моментом силы относительно некоторой точки О называется величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из данной точки в точку приложения силы, на саму эту силу:

Направление и модуль момента силы определяются по правилу векторного произведения.

, где , здесь - кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы; такое расстояние называется плечом силы.

Моментом силы относительно некоторой оси называется проекция (скалярная величина) на эту ось момента силы, вычисленного относительно любой точки О на этой оси

Главный момент системы сил

Количество движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина .

Количеством движения системы материальных точек называется векторная величина

Изменение количества движения: . В замкнутой системе .

Момент количества движения

Моментом количества (кинетическим моментом) движения материальной точки относительно некоторого центра О называется векторная величина

Моментом количества (кинетическим моментом) движения системы материальных точек относительно некоторого центра О называется векторная величина

Проекции момента количества движения на оси декартовой системы координат

, , .

Если механическая система представляет собой твердое тело с непрерывным распределением массы, то эти суммы превращаются в соответствующие интегралы по всему объему тела. Изменение момента количества движения

В замкнутой системе .

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси:

элемент dm, скорость v=h, тогда или .