Задачи и решения

1. На депозит на срок два года положены 10000 руб. Какую сумму должен получить вкладчик в конце срока при начислении простых (сложных) процентов по ставке 18% годовых?

Для случая простых процентов получаем:

FV = PV *(1+n*i) = 10000*(1+2*0,18) = 13600 руб.

Для случая сложных процентов:

FV = PV *(1+ i)ⁿ= 10000*(1+*0,18)²= 13924 руб.

2. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.

Для случая простой ставки

FV = 2*PV = PV *(1+n*i),

2 = *(1+n*0,1),

n = (2-1)/0,1 =10 лет.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ = 2,

n*Ln(1+0,1) =Ln2,

n= Ln2/ Ln(1+0,1) = 0,69/0,095 = 7,26 года.

3. Найти процентную ставку (простую и сложную) при которой первоначальная сумма вклада удвоится за десять лет.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n*i),

FV = 2*PV = PV *(1+10*i),

(1+10*i) = 2,

i = 1/10 = 0,1.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)¹⁰

i = 2 ^1/10 – 1 = 0,072.

4. На вашем банковском вкладе проценты начисляются на основе «плавающей» ставки, которая изменяется каждый год. Три года назад вы положили на счет 10000 руб., когда процентная ставка была 15%. В прошлом году она упала до 12%, а в этом году установлена на уровне 10%. Какая сумма будет у вас на счете к концу текущего года? Расчеты произвести для случая простых и сложных ставок.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n₁*i₁ + n₂*i₂ + n₃*i₃) = 10000*(1+1*0,15+1*0,12+1*0,1) = 13700 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i₁)ⁿ¹ *(1+ i₂)ⁿ² *(1+ i₃)ⁿ³ = 10000* *(1+ 0,15)¹*(1+ 0,12)¹*(1+ 0,1)¹ = 10000* 1,15*1,12*1,1 = 14168 руб.

5. В банк на срочный сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 9% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 6%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n₁*i₁ + n₂*i₂) = 1000*(1+2*0,09+3*0,06) = 1360 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i₁)ⁿ¹ *(1+ i₂)ⁿ² = 1000* *(1+ 0,09)²*(1+ 0,06)³ = 1417 руб.

1. Вексель стоимостью 100 млн. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 20 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель по истечении срока договора.

Частота начисления сложных процентов

Процентная ставка задается, как правило, как номинальная годовая процентная ставка – это исходная ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Эта ставка может быть также использована для начисления процентов один раз в году. В этом случае, если начисление процента осуществляется чаще, чем 1 раз в год, например, ежеквартально, или ежемесячно, рассчитывается эффективная годовая ставка, которая эквивалентна процентной ставки при условии начисления процентов один раз в год.

Предположим, что годовая процентная ставка составляет, например 6% в год, при этом проценты начисляются ежемесячно. Это означает, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме 1/12 от 6%, или 0.5%. Эффективная процентная ставка может быть найдена из выражений

FV = (1.005)¹² = 1.061678

Iэ = 1.06168-1 = 0.061678 = 6.1678% в год.

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

Iэ = (1+i/m)^m – 1,

I – номинальная годовая ставка, m – число начислений процента в году.

При увеличении частоты начисления процентов эффективная процентная ставка увеличивается. Если проценты начисляются непрерывно, то эффективная процентная ставка определяется из соотношения

Iэ = Lim (1+i/m)^m – 1 = eⁱ - 1= 2.71828ⁱ -1

m  бесконечности.

В нашем примере e ^0.06 - 1= 6.1836 в год.

Пример. Номинальная годовая ставка составляет 12% в год. Начисление процентов производится ежеквартально. Найти годовую эффективную ставку

Iэ = (1+0,12/4)⁴ – 1 = 12,55%.