3.Основні аксіоми і закони булевої алгебри.

Математичний апарат, що описує дії дискретних і цифрових пристроїв, базується на алгебрі логіки чи булевій алгебрі, названої по імені її основоположника Д. Буля.

Булева алгебра оперує двійковими змінними, котрі умовно позначаються як 1 і 0. У її основі лежить поняття перемикальної чи логічної функції виду щодо аргументів , що, як і її аргументи, може приймати тільки два значення – 0 чи 1. У загальному випадку, якщо мається n логічних змінних , то вони утворять 2ⁿ можливих логічних наборів з 0 і 1. При n = 1: = 0 і = 1; при n = 2: = 00, 01, 10, 11 і т.д. Оскільки для кожного набору змінних функція в може приймати два значення, загальне число булевих функцій п аргументів дорівнює . Таким чином, функцій одного аргументу може бути чотири: (константи 1); у = 0 (константа 0).

Усі можливі логічні функції n змінних можна утворити за допомогою трьох основних операцій: логічне заперечення (інверсія, операція НЕ), логічне множення (кон’юнкція, операція І) і логічне додавання (диз'юнкція, операція АБО).

Операція заперечення над однією змінною характеризується наступними властивостями: функція y = 1 при аргументі х = 0 і в = 0, якщо х = 1. Позначається заперечення рисою над змінною: (ігрек дорівнює не ікс). Відповідно .

Два аргументи дають 16 функцій (таблиця 10.2).

Таблиця 10.2

Набір логічних функцій двох змінних

Аргументи					Функція	Назва функції
Х1 Х2	0 0	0 1	1 0	1 1
	0	0	0	0	у1 = 0	Константа 0
	0	0	0	1	у2 = х1 х2	Кон’юнкція, операція І
	0	0	1	0		Заборона по х2
	0	0	1	1	у4 = х1	Тотожність х1
	0	1	0	0		Заборона по х1
	0	1	0	1	у6 = х2	Тотожність х2
	0	1	1	0	х1 х2	АБО, що виключає нерівнозначність (сума по модулю 2)
	0	1	1	1		Диз'юнкція, операція АБО
	1	0	0	0		Операція АБО – НЕ (стрілка Пірса)
	1	0	0	1		Рівнозначність, еквівалентність
	1	0	1	0		Інверсія х2, заперечення х2
	1	0	1	1		Імплікація від х2 до х1
	1	1	0	0		Інверсія х1, заперечення х1
	1	1	0	1		Імплікація від х1 до х2
	1	1	1	0		Операція І – НЕ (штрих Шеффера)
	1	1	1	1	у16 = 1	Константа 1

Операція логічного множення для двох змінних характеризується так: 0∙ 0 = 0; 0∙ 1 = 0; 1∙ 0 = 0; 1∙ 1 = 1, тобто функція в = 1, якщо всі аргументи рівні 1.

Операцію логічного додавання позначають . Вона означає, що: 0 0 = 0; 0 1 = 1; 1 0 = 1; 1 1 = 1, тобто в = 1, якщо хоча б один аргумент дорівнює 1.

Кон’юнкція і диз'юнкція можуть виконуватися над будь-якою кількістю змінних.

Логічна функція може бути задана словесно, алгебраїчним вираженням і таблицею істинності. Наприклад, функцію , задану у виді словесного опису: = 1, коли значення змінних , і = 0, коли , можна представити у виді таблиці істинності (таблиця 10.3) чи в алгебраїчній формі (див. таблицю 10.2). Для операцій кон’юнкції та диз'юнкції таблична форма завдання має вид – таблиця 10.4.

Таблиця 10.3				Таблиця 10.4
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1		0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1

Таблиця істинності містить усі N = 2ⁿ можливі набори значень змінних і значення функції, що відповідають кожному з наборів.

Щоб здійснити перехід від табличного представлення до алгебраїчного, кожного числового набору змінних ставиться у відповідність мінтерм m_i. Мінтерм (конституанта одиниці) – це кон’юнкція всіх змінних , причому ті змінні , котрі в наборі мають значення 1, представляються в прямому виді, а ті, котрі мають значення 0, − в інверсному. Тоді шукане алгебраїчне вираження представляється у виді наступної логічної суми:

(10.4)

де − значення функції (0 чи 1) і мінтерм, що відповідають i-му числовому набору змінних . Таке представлення функції називається її зробленою диз'юнктивною нормальною формою (СДНФ).

Наприклад, потрібно одержати алгебраїчний запис функції в₁₀, заданої таблиці 10.3. Для цього необхідно відповідно до вище викладеної методики скласти мінтерми (таблиця 10.5) і скористатися вираженням (10.4). Вийде

Таблиця 10.5