2.Двійкова арифметика.
При виконанні арифметичних операцій над двійковими числами необхідно враховувати знак числа. З цією метою вводиться додатковий знаковий розряд z, що, звичайно, розташовується перед числовими розрядами. Для позитивних чисел значення знакового розряду z = 0, для негативних чисел z = 1.
Як
і в десятковій системі числення, операція
додавання
двох позитивних n-розрядних
чисел
і
виконується порозрядно, починаючи з
молодшого. Розрядні числа
і
сумуються по модулю 2 з урахуванням
переносу з попереднього (молодшого)
розряду
відповідно до таблиці 10.1. Сума
,
якщо кількість доданків із значенням
1 непарна, а перенос у наступний розряд
= 1, якщо кількість таких складає не менше
двох.
Таблиця 10.1 Приклад 10.1
-
Таблиця істинності
однорозрядного суматора
а5 ао
А2 = 0 0 0 1 1 1 = А10 = 7
+
В2 = 0 1 0 0 1 1 = В10 = 19
__________
b5 bо
S2 = 0 1 1 0 1 0 = S10 = 26
_ _ _
Р2 Р1 Ро
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Приклад 10.2
Операцію
вирахування (віднімання)
в цифровій техніці реалізують за
допомогою додавання.
Для цього від'ємник,
включаючи його знаковий розряд,
представляють у
зворотному коді.
Якщо в результаті підсумовування в
знаковому розряді утвориться перенос,
то ця одиниця додається до молодшого
розряду суми. Такий додаток одиниці
називають циклічним
переносом.
Знак результату визначається отриманим
значенням знакового розряду
.
У загальному випадку для виконання операцій додавання і вирахування зручно представляти негативні числа у зворотному коді, а позитивні – у прямому. Вирахування заміняється додаванням із перекладом від'ємника у зворотний код, якщо це число позитивне, і в прямий код, якщо число негативне.
Якщо результат операції виходить негативний ( = 1), то він представлений у зворотному коді, якщо позитивним ( = 0) – у прямому коді.
Приклад 10.3.
Недоліком використання зворотного коду є утворення циклічного переносу, що приводить до повторення операції додавання, що значно збільшує час виконання дій.
При використанні додаткового коду дії додавання і вирахування виконуються так само, як із використанням зворотного коду, але простіше і швидше, тому що відпадає необхідність у циклічному переносі зі знакового розряду. Однак перетворення числа в додатковий код технічно реалізується складніше, ніж у зворотний.
Множення двійкових багаторозрядних чисел у принципі не відрізняється від множення десяткових чисел. Тому що приватний добуток багаторозрядного числа на 1 дорівнює цьому числу, а множення на 0 дає нулі у всіх розрядах, дія множення зводиться, таким чином, до операцій зрушення і додавання приватних добутків. Очевидно, що при цьому можна опустити проміжний результат множення на нуль і просто зрушити вліво наступний проміжний добуток (приклад 10.4).
Двійковий розподіл (ділення) теж аналогічний десятковому, але завдяки меншому числу цифр у системі числення операція виходить більш простій. Це видно з приклада 10.5 (розподіл 1011012 = 4510 на 10012 = 910).
Розподіл (ділення) зводиться до операцій зрушення і вирахування.
Розглянуті вище арифметичні операції відносяться до операцій над двійковими числами, представленими у формі з фіксованою комою, коли число відображається у виді єдиного цілого, кожен розряд його має незмінну вагу. На практиці, із метою розширення діапазону чисел, використовують форму з комою, що плаває. Тут число складається з двох частин: мантиси т, що містить значення цифри числа, і порядку р, що показує ступінь, у яку треба звести підставу числення q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало істинне значення числа, що представляється:
(10.3)
Арифметичні дії над числами з комою, що плаває, реалізуються трохи складніше, ніж над числами з фіксованою комою, тому що тут необхідно виконувати операції як над мантисами, так і над порядком.
Порушимо третє питання лекції.