14

Лекція № 16.

Основи булевої алгебри.

Зміст

1. Системи числення. 1

2. Двійкова арифметика. 4

3. Основні аксіоми і закони булевої алгебри. 7

4. Виконання логічних та арифметичних операцій. 11

Розглянемо перше питання лекції.

1.Системи числення.

Усяке число представляється (кодується) набором цифр у визначеній системі числення. Найбільше поширення одержали позиційні системи числення, у яких кожна цифра виражає число не тільки своїм значенням, але і положенням (позицією) серед інших цифр. Підстава (російською мовою – основание) системи − це число q, рівне кількості різних цифр, необхідних для вираження всіх чисел у межах одного розряду. Позитивне число з i розрядів у позиційній системі з підставою q може бути представлене як

(10.1)

де а – будь-яка цифра від 0 до q – 1 включно;

перший член являє собою старший розряд числа, а останній − молодший.

Кодоване в десятковій системі числення число, наприклад, 397, представляється як 397₁₀ = 3∙ 10² + 9∙ 10¹ + 7∙ 10^о.

У цифровій техніці знайшли переважне застосування елементи з двома робочими станами, один з яких ототожнюється з цифрою 1, а другий– з 0. Тому тут поширене так зване натуральне двійкове кодування, при якому n- розрядне число виражається як

(10.2)

де може приймати значення 1 чи 0. Наприклад, число 13₁₀ при двійковому кодуванні має вид 1101₂.

А число 45₁₀ (дивись приклад 1) при двійковому кодуванні має вид 101101₂.

Приклад 1. Перевод чисел із двійкового в десятковий код.

Перевести число 101101₂ у десяткову систему числення:

1∙ 2⁵ + 0∙ 2⁴ + 1∙ 2³ + 1∙ 2² + 0∙ 2¹ + 1∙ 2^о=32 + 8 + 4 +1 = 45₁₀.

Переклад із десяткової у двійкову систему числення здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу системи числення q=2 (дивись приклад 2).

Приклад 2. Перевод чисел із десяткового в двійковий код.

Поряд із цим знаходять застосування й інші коди, що дозволяють спростити арифметичні дії. До них відносяться, зокрема, зворотний і додатковий коди.

Двійкове число у зворотному коді є інверсією прямого коду (усі нулі прямого коду числа заміняються одиницями, а одиниці – нулями). Додатковий код утвориться зі зворотного коду додаванням до нього 1. Так, десятковому числу 13 у зворотному двійковому коді відповідає число 0010, а в додатковому 0011.

Як видно з таблиці, у двійковій системі числення кожне наступне число виходить додатком одиниці до молодшого розряду, причому сума нуля й одиниці дає одиницю, а сума двох одиниць дає нуль і перенос одиниці в старший розряд, де знову сумується цифра розряду і перенесена одиниця і т.д. Така операція називається "сума по модулю два".

Широко застосовується двійково-десятковий код, у якому цифри кожного розряду десяткового числа представляються чотирьохрозрядним двійковим числом (тетрадою). Так, число А₁₀ = 397 у двійково-десятковому коді має вид А_{2 − 10} = 0011 1001 0111. Основне достоїнство двійково-десяткового коду полягає в простоті взаємного перекладу десяткових і двійкових чисел апаратними засобами. Головний недолік – громіздкість запису і надмірність, тому що шість двійкових комбінацій у кожної тетраді (від 1010₂ = 10₁₀ до 1111₂ = 15₁₀) не використовуються.

У таблиці 1 приведені приклади запису чисел у двійковій, десятковій і шістнадцятковій системах числення.

Таблиця 1.

2	10	16
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

Як видно з таблиці, у двійковій системі числення кожне наступне число виходить додатком одиниці до молодшого розряду, причому сума нуля й одиниці дає одиницю, а сума двох одиниць дає нуль і перенос одиниці в старший розряд, де знову сумується цифра розряду і перенесена одиниця і т.д. Така операція називається "сума по модулю два".

Широко застосовується двійково-десятковий код, у якому цифри кожного розряду десяткового числа представляються чотирьохрозрядним двійковим числом (тетрадою). Так, число А₁₀ = 397 у двійково-десятковому коді має вид А_{2 − 10} = 0011 1001 0111. Основна перевага двійково-десяткового коду полягає в простоті взаємного перекладу десяткових і двійкових чисел апаратними засобами. Головний недолік – громіздкість запису і надмірність, тому що шість двійкових комбінацій у кожної тетраді (від 1010₂ = 10₁₀ до 1111₂ = 15₁₀) не використовуються.

Останнього недоліку позбавлене двійково-шістнадцяткове кодування. Тут усі 16 двійкових комбінацій тетрад використовуються. Вони відповідають числам у шістнадцятковій системі числення, що позначається від 0 до 9 десятковими цифрами і від 10 до 15 буквами А, B, C, D, Е, F. Наприклад, число 397₁₀ у шістнадцятковому коді має вид 18D₁₆ (1∙ 16² + 8∙ 16¹ + 13∙ 16^о), а у двійково-шістнадцятковому – 0001 1000 1101_{2 − 16.} Як видно, тут тетради відображають числа 1, 8 і D шістнадцяткової системи числення, а в сукупності являють собою звичайний двійковий код.

Переклад чисел із системи числення з довільною підставою q у десяткову систему числення (q=10) виконується по вищенаведених формулах, для чого потрібно перевести в десяткову систему числення числа а_i і q. Трохи складніше перевести числа з десяткової системи числення в систему числення з підставою q  10. Найбільше просто така операція виконується для q=2, 8, 16.

Нехай потрібно перевести десяткове число (1993₁₀) у шістнадцяткову систему числення. Переклад здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу системи числення q=16.

Перейдемо до другого питання лекції.