2.4. Медиана

Определение. Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

2.5. Начальный момент

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

2.6. Центральный момент

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

2.7. Коэффициент асимметрии

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднеквадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

2.8. Эксцесс

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный центральный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели методы решения основной задачи теории вероятностей – определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности распределения.

В ходе подготовки к последующей лекции и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Приложения

Слайды для проведения занятия

Слайд 1

Тема № 11 Плотность вероятности. Числовые характеристики. Моменты случайных величин

Учебные и воспитательные цели:

1. Дать представление о методах определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности распределения.

Учебные вопросы:

1. Плотность распределения непрерывной случайной величины для определения вероятности попадания случайной величины на интервал.

2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Слайд 2

Определение вероятности попадания непрерывной случайной величины Х на участок (а;b) по известной плотности распределения:

f(х)

f(b)

f(а)

а b х

Слайд 3

Величина f(x)dx называется элементом вероятности - вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок dх, прилежащий к точке х:

Функция распределения случайной величины Х по известной плотности распределения может быть найдена, как интеграл от плотности распределения в интервале от - до х.

Интегральная формула полной вероятности:

Интегральная формула Бейеса:

Слайд 4