§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.

Реальные механические системы всегда обладают хотя бы малым трением. Простейший случай – жидкое или вязкое трение. Это трение, величина которого пропорциональна скорости движения системы (и направлена, естественно, против направления движения). Если движение происходит вдоль оси Х , то уравнение движения может быть записано (для грузика на пружинке) в виде

,

где – коэффициент вязкого трения.

Это уравнение движения можно преобразовать к виду

.

Здесь – коэффициент затухания, – по-прежнему собственная частота осциллятора (который уже нельзя назвать гармоническим; это затухающий осциллятор с вязким трением).

Математики умеют решать такие дифференциальные уравнения. Было показано, что решением является функция

(**).

В последней формуле используются обозначения: – начальная амплитуда, частота слабозатухающих колебаний , . Кроме того, часто используют другие параметры, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания , время релаксации системы , добротность системы , где в числителе стоит запасенная системой энергия, а в знаменателе – потери энергии за период Т.

В случае сильного затухания решение имеет апериодический вид.

Часто встречаются случаи, когда кроме сил трения на осциллятор действует внешняя сила. Тогда уравнение движения приводится к виду

,

стоящее справа выражение часто называют приведенной силой, силу называют вынуждающей силой. Для произвольной вынуждающей силы найти решение уравнения не удается. Обычно рассматривают гармоническую вынуждающую силу типа . Тогда решение представляет собой затухающую часть типа (**), которая для больших времен стремится к нулю, и установившиеся (вынужденные) колебания

.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

а фаза вынужденных колебаний

.

Заметим, что при приближении собственной частоты к частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Это явление известно как резонанс. Если затухание велико, то резонансное увеличение не велико. Такой резонанс называют «тупым». При малых затуханиях амплитуда «острого» резонанса может возрасти весьма значительно. Если же система идеальна, и трение в ней отсутствует, то амплитуда вынужденных колебаний увеличивается неограниченно.

Заметим также, что при частоте вынуждающей силы

достигается максимальное значение амплитуды вынуждающей силы, равное

.

§16. Момент инерции твердого тела. Абсолютно твердое тело.

Кроме материальной точки и системы материальных точек в классической механике рассматривают твердые тела. Как правили, в этом случае выделение отдельных материальных точек не производят. Твердое тело рассматривают как единое целое. Естественно, что для его описания вводят новые понятия. Например, вместо массы надо рассматривать момент инерции. Как и масса, момент инерции это скалярная и аддитивная величина. Но она не имеет смысла, если не указана ось, относительно которой определяется этот момент.

Проще всего момент инерции ввести для одной материальной точки m (см. рис. 3).

Рисунок 3 показывает, что момент инерции определяется (в данном случае) относительно оси ОО. Если материальная точка находится на расстоянии Х от оси, то момент инерции определяется формулой

.

Если же взять другую ось, то расстояние от материальной точки Х₁ до новой оси буден иным, а значит, изменится и момент инерции.

Если имеется несколько материальных точек, то рисунок 3 обобщается, давая для полного момента инерции выражение

.

Это равенство записано при определенном выборе оси и выражает свойство аддитивности моментов инерции (т.е. возможность сложения моментов инерции отдельных элементов).

В дальнейшем мы говорим об абсолютно твердых телах, моменты инерции которых неизменны во времени; ведро воды, например, нельзя считать абсолютно твердым телом.

Найдем найти моменты инерции некоторых твердых тел Например, момент инерции обруча, радиус которого равен , а масса равна , относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр, равен (в силу того, что все элементы обруча находятся на одинаковых расстояниях от оси и могут рассматриваться как материальные точки) величине

.

Эта же формула определяет момент инерции пустотелого цилиндра относительно оси его симметрии.

Приведет два примера вычисления моментов инерции более сложных твердых тел.

1. Сплошной диск или сплошной цилиндр. Ось по-прежнему перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр.

Выделим коаксиальное кольцо радиусом и толщиной . Площадь кольца равна и на него приходится масса

.

Соответственно этому, момент инерции выделенного кольца равен

.

Полный момент инерции диска получим, проведя интегрирование по от нуля до . После интегрирования и сокращения на множитель , результатом является

.

В силу симметрии этот же результат пригоден для сплошного цилиндра любой длины, относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.

2. Пусть имеется однородный стержень массой и длиной (см. Рис. 4)

Выберем на оси интервал значений и определим момент инерции массы, соответствующей этому интервалу. Эта масса равна

,

а соответствующий элемент момента инерции

.

Полный момент инерции равен интегралу от в пределах от до (т.е. по области, где масса отлична от нуля). Вычисление интеграла дает

.

Нам важны два частных случая:

А). a = 0; тогда .

Б). ; тогда .

Заметим, что случай А) соответствует оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, тогда как случай Б) соответствует оси, проходящей через центр масс стержня. Сопоставление двух этих случаев дает

.

Последнее соотношение – частный случай теоремы Штейнера: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. Эта теорема позволяет переходить от моментов инерции простых систем к более сложным. Например, момент инерции сплошного диска относительно оси, походящей через его край перпендикулярно плоскости диска равен

.