§9. Работа механической силы.
А). Работа постоянной
силы при прямолинейном перемещении;
сила и перемещение S
совпадают по направлению. Согласно
определению, работой в этом случае
называется произведение
.
Размерность работы, как и энергии, равна
Дж (или Н).
Б). Если вектор
силы и вектор прямолинейного перемещения
составляют угол
,
то работа равна
.
Например,
. Здесь
– обозначение скалярного
произведения двух векторов.
Случаи А) и В) рассмотрены для постоянной по величине и направлению силы.
В). Если же сила
непостоянна по времени или направлению,
то надо брать очень маленькие перемещения
,
на протяжении которых сила не меняется.
Тогда можно ввести понятие элементарной
работы,
,
или, в более общем виде
,
– элементарное (бесконечно малое) а
значит – прямолинейное смещение.
Г). Полная работа произвольной силы при перемещении по прямой L от начальной точки а до конечной точки в равна определенному интегралу
.
Д). Не всегда
перемещение происходит по прямой линии.
В этом случае рассматривают кривую
линию с начальной точкой а
и конечной точкой в
,
,
и определенное интегрирование проводят
по малым (прямолинейным) отрезкам этой
кривой. Такой определенный интеграл
называется криволинейным
и обозначается как
.
Этот интеграл даёт наиболее общее выражение для работы произвольной силы.
Е). Есть еще один случай работы силы, который надо упомянуть. Это работа по замкнутой траектории. В этом случае обозначается кружком на знаке криволинейного интеграла:
.
Здесь начало и конец кривой (траектории) совпадают и их не отмечают. Такие интегралы (мы их вычисляем для простейших случаев, когда вычисления очевидны и легки) крайне важны. Мы обсудим их значение позже, а пока отметим, что в том случае, когда
,
сила называется консервативной, а работа равна нулю независимо от выбора замкнутого контура. Примерами служат сила упругости , сила тяжести, сила Кулона и др. Если же
,
то сила называется неконсервативной. Её работа зависит от вида траектории L . Это силы трения (сухого и вязкого) силы необратимых деформаций др.
С понятием «работа» связано понятие «мощность». Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени или «скорость» совершения работы:
.
Мощность Р – скаляр, не путать с модулем импульса.
§10. Потенциальная энергия.
Как было отмечено, потенциальная энергия – это величина, показывающая, какую работу может совершить механическая система. Причем эта работа связана с массой и скоростью материальной точки. Другой тип механической энергии – это потенциальная энергия. Она менее универсальна, чем кинетическая энергия и проявляется не всегда. Одна из важных особенностей потенциальной энергии состоит в том, что она всегда определяется с точностью до произвольной постоянной. Работа, которую совершает система с потенциальной энергией, равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях. Приведем несколько примеров.
Пусть материальная
точка массой m
находится на высоте h
над горизонтальной поверхностью. Тогда
говорят, что её потенциальная энергия
равна
,
где g
– ускорение свободного падения при
данных условиях. При этом мы могли бы
проводить отсчет «высоты», скажем, от
потолка комнаты. Независимо от этого и
вне зависимости от вида траектории, по
которой падает материальная точка
(свободное падение, без трения), работа
совершаемая силой тяжести одинакова и
равна
.
Подобным же
образом потенциальной энергией обладает
материальная точка на пружине, жесткость
которой равна k.
В самом деле, при небольших растяжениях
пружины
, где
– длина недеформированной пружины
можно записать силу Гука
.
Если пружину растягивать (заметим, что перемещения конца пружины противоположно по направлению действующей силы, что приводит к замене знака « – » на знак «+» ), то совершаемая над пружиной работа, равная запасенной потенциальной энергии, составит
.
Полная потенциальная энергия определяется неопределенным интегралом, то есть равна
.
Произвольная постоянная может быть задана, если указать начало системы отсчета. Если конец нерастянутой пружины совпадает с началом отсчета, то константу принимают за нуль.
Потенциальная энергия связана с силой, действующей на систему. Рассматривая движение только вдоль оси Х, легко установить, что
,
или, точнее,
.
Обобщение последней формулы на трехмерное движение дает
.
Выражения, стоящие
справа (без учета знака «–» ) называют
оператором набла,
,
или оператором градиент,
,
или просто записывают в виде
.
Все эти обозначения эквивалентны.
Использование «круглых» символов
и подобных им показывает, что производная
вычисляется при фиксированных значениях
остальных пространственных переменных,
то есть вычисляется частная
производная.