§7. Закон сохранения импульса.
В §3 мы ввели понятие импульса материальной точки как величины, равной . Импульс – аддитивная величина, то есть импульс системы материальных точек есть геометрическая сумма всех импульсов системы:
.
Продифференцируем эту сумму по времени и учтем, что производная импульса есть сила:
.
Здесь
и
– силы, действующие со стороны второй
и третьей материальной точки на первую
точку,
и
а – силы, действующие со стороны первой
точки на вторую и третью. Вследствие
Третьего закона Ньютона они попарно
сокращаются. Также попарно сокращаются
все внутренние силы, действующие в
систем е материальных точек. Остается
только
– результирующая или равнодействующая
сил, действующих на систему материальных
точек извне:
.
Если же система замкнута, то равна нулю и тогда после интегрирования производной полного импульса, находим
.
Это математическая формулировка закона сохранения полного импульса замкнутой системы материальных точек. «Полный импульс замкнутой системы материальных точек не зависит от времени, то есть сохраняется».
Задачи, для решения которых применяется закон сохранения полного импульса, достаточно известны. В частности ранее утверждалось, что если на корме небольшой лодки поставить вентилятор, который будет дуть в парус, то лодка останется неподвижной. Это не всегда так и опыты подтверждают это. Так, если не весь поток воздуха будет попадать на парус, то часть импульса проходящего мимо паруса не будет компенсировать силу отдачи и лодка начнет двигаться кормой вперед. Похожий эффект возникает, если молекулы воздуха упруго отражаются от паруса. Тогда импульсы и силы перераспределяются в пространстве, что создает отличную от нуля внешнюю силу. Картина в целом напоминает случаи рассеяния света на поглощающей и отражающей поверхностях.
§8. Теорема о движении центра масс.
Пусть есть
система
материальных точек с массами
имеющими координаты
.
Тогда точка с координатами
,
где
называется полной массой системы,
называется центром массы системы (иногда
эту точку называют также центром инерции
системы).
Рассматривая центр масс системы, вводят специальную теорему о его движении. Мы введем эту теорему в рассмотрение, сделав несколько шагов.
1. Имеются внешние
силы, действующие на каждую i-ю
частицу,
, и внутренние силы действующие между
частицами,
.
2. Согласно Третьему
закону Ньютона,
.
3. Согласно Второму
закону Ньютона для i-й
частицы,
.
4. Но
. Получаем ряд уравнений, соответствующих
правым частям:
5.
6. Сложим почленно указанные уравнения. Видно, что все внутренние силы попарно сокращаются. Остаются только внешние силы:
.
Это Второй закон Ньютона для системы материальных точек.
7. Из определения центра масс следует
.
8. Продифференцировав по времени, находим,
.
Теперь теорема: Центр массы системы движется как материальная точка массы М. на которую действует результирующая сила всех внешних сил. Если эта результирующая сила равна нулю, то полный импульс системы постоянен во времени.