§6. Плоское криволинейное движение.
До сих пор мы молчаливо предполагали, что во время движения орты постоянны и дифференцировать их по времени нет необходимости. Это предположение справедливо не всегда. Например. Оно не справедливо, если происходит криволинейное движение. Простейший случай такого движения – движение по окружности или, в более общем случае – по плоской кривой. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Как легко заметить, орты координат при этом изменяют своё направление, то есть зависят от времени.
В случае вращения по окружности с постоянной по модулю скоростью известно, что на материальную точку действует центростремительная сила
,
где
– масса материальной точки,
– модуль её скорости,
– радиус окружности,
– радиус-вектор, проведенный из центра
окружности в ту точку, где в данный
момент находится материальная точка.
Знак минус указывает, что действующая
на материальную точку сила направлена
к центру окружности.
При движении по плоской кривой формулу для центростремительной силы можно обобщить. Для этого надо сделать несколько шагов.
Выделим на
плоской кривой L
произвольные точки A
и B.
Построим окружности, касающиеся этих
точек; стрелки указывают радиусы
и
, проведенные из центров окружностей в
точки касания. Соответствующие радиусы
(не векторы) называются радиусами
кривизны
в точках
и
.
Обратная величина, например,
, называется кривизной
кривой L
в точке
.
Кривая должно быть плавной. В точке
излома кривизна не определена. Для
прямой кривизна стремится к нулю (радиус
кривизны бесконечен). В точке
кривизна считается положительной, в
точке
– отрицательной.
Если точка
движется со скоростями
и
, то на неё действуют центростремительные
силы
, определяемые указанной формулой. Это,
в частности, означает, что они движутся
с центростремительным ускорением
или
.
Но это не полное ускорение материальной точки. Для того, чтобы найти полное ускорение учтем, что при движении по плоской кривой скорость имеет вид
,
где
– вектор, касательный к рассматриваемой
точке (например, к точке В , см. рис. 1),
причем он зависит от времени,
- модуль скорости в этой точке.
Чтобы найти ускорение надо продифференцировать скорость:
.
Первое слагаемое называется тангенциальным (касательным) ускорением,
,
и учитывает поворот касательного орта (для движения по прямой тангенциальное ускорение равно нулю). Второе слагаемое – ускорение центростремительное,
,
которое учитывает изменение модуля скорости.
Таким образом, полное ускорение равно
,
а так как радиус,
проведенный в точку касания перпендикулярен
касательной, то модуль полного ускорения
равен
.