§3. Основные понятия классической механики.

Выделяют классическую механику материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела и классической жидкости. Сначала мы изучим механику материальной точки.

Материальной точкой называется объект малых размеров, форма которого не влияет на характер движения. Например, дробинка, брошенная в аудитории – материальная точка, а плоский клочок бумаги тех же размеров – нет.

Важным требованием является «малость» скорости движения объекта. «Малость» в данном случае означает, что скорость движения много меньше скорости света. Переход к скоростям, сравнимым со скоростью света требует замены классической механики на релятивистскую механику.

Кроме радиус-вектора в классической механике используют понятия скорости и ускорения. Рассмотрим эти понятия детально.

Пусть материальная точка движется вдоль оси х. Если установлено, что в момент времени t₁ точка имела координату х(t₁), а в момент – координату х(t₂), то средней скоростью за время прямолинейного движения называется отношение

(м/с).

Следует помнить, что скорость имеет определенное направление, то есть является векторной величиной. Поэтому в рассмотренном случае правильнее писать

.

Средняя скорость – грубая характеристика движения. Она становится точнее, если уменьшать . Если рассматривать предел отношения при , то есть заменить отношение производной, то можно ввести мгновенную скорость в момент времени t:

,

где подразумевается, что орт не зависит от времени.

Если же движение происходит в трехмерном пространстве, то для получения мгновенной скорости надо продифференцировать радиус-вектор:

.

Аналогичным образом вводят среднее и мгновенное ускорения. Ускорение – это скорость изменения скорости, то есть мгновенное ускорение определяется первой производной (по времени) скорости, или, что то же самое, второй производной радиус-вектора:

(м/с²).

Необходимо помнить, что скаляр (модуль скорости, ускорения) это одно число, тогда как вектор (те же величины) это три числа, три проекции. Поэтому вектор надо обязательно отмечать стрелкой над обозначением величины. Разумеется, это относится ко всем векторным величинам. Нарушение этого правила – грубая ошибка. В любом равенстве обе части, левая и правая, всегда должны иметь одинаковый смысл – быть либо векторными, либо скалярными. Кстати, векторное уравнение, – это всегда три скалярных уравнения.

Приведем один пример определения мгновенного ускорения по заданному радиус-вектору.

Пусть

,

– произвольный постоянный вектор, – некоторые постоянные числа, связанные с Х, У и Z проекциями, – некоторая функция времени. Размерности перечисленных величин таковы, что вся правая часть имеет линейную размерность.

Согласно определению мгновенной скорости для её нахождения радиус-вектор надо продифференцировать по времени. Проводя это дифференцирование, найдем .

Для получения мгновенного ускорения следует продифференцировать мгновенную скорость. Дифференцируя, получим:

.

Другими важными понятиями в классической механике являются импульс и кинетическая энергия.

Импульсом материальной точки называют векторную величину, полученную при перемножении массы точки на её мгновенную скорость:

.

Легко заметить, что размерность импульса равна кг м/с. Специального названия эта единица не имеет.

Энергия в физике – это величина, характеризующая способность механической системы совершать работу. Выделяют кинетическую энергию, зависящую от массы и скорости, и потенциальную энергию, зависящую от положения системы в пространстве. По определению, кинетическая энергия материальной точки равна

.

Эта формула пригодна для классической механики. При больших скоростях масса начинает зависеть от скорости и в релятивистском приближении формула требует обобщения.

Потенциальную энергию можно в общем виде записать так:

.

Сумма двух этих энергий называется полной энергией системы,

.

Как было сказано, энергия измеряется в Джоулях, Дж.

Импульс и полная энергия системы это выделенные в физике величины. В отличие от других комбинаций величин полный импульс и полная энергия системы при некоторых дополнительных условиях может сохраняться во времени.

Для динамики особенно важно понятие силы. Все мы интуитивно знаем, что физическая сила существует. Мы можем экспериментально наблюдать действие силы. Например, если мы будем толкать камешек прутиком, то прутик согнется, а камешек начнет двигаться. Это – проявление силы. Если прутик сгибается больше, то мы говорим, что действующая сила тоже больше. Уже из этого описания опыта ясно, что сила – векторная величина. Её обычно обозначают как .

В классической механике силу связывают с изменением импульса:

.

Если имеется материальная точка, то на неё может действовать несколько сил одновременно. Тогда говорят, что к точке приложена равнодействующая всех сил. Равнодействующую находят путем векторного сложения всех действующих сил. Если имеется N сил, то результирующая сила вычисляется по правилу:

.