§30. Процессы переноса.
Если в равновесном ансамбле возникает флуктуация или на ансамбль оказывается внешнее воздействие, делающее ансамбль неоднородным, в нем возникают процессы переноса. Большинство из них (особенно при кратковременном внешнем воздействии) характеризуются временем релаксации или средним временем жизни флуктуации. Чтобы последовательно найти эти величины требуется их изучение с помощью кинетического уравнения. В самом простом случае (метод или приближение Блоха) производная в левой части кинетического уравнения заменяется отношением
,
где
– время релаксации. Достаточно часто
оказывается, что
.
Такой тип релаксации называют экспоненциальным. «Рассасывание» флуктуаций обычно происходит именно по такому закону. В других случаях релаксация может происходить другим, иногда весьма экзотическим образом. В любом случае рассасывание есть необратимый процесс, сопровождающийся увеличением энтропии.
С понятием
времени релаксации связано (но не
совпадает с ним ни по смыслу, ни по
величине) понятие среднего времени
между столкновениями частиц, обычно
обозначаемое как
.
Пусть столкновения происходят через
некоторые интервалы времени
,
где
– число учтенных столкновений, следующих
одно за другим. Тогда среднее
время свободного пробега
определяется стандартным образом:
.
Обычно порядка , превосходя последнюю величину в несколько раз.
Аналогичным
образом вводится средняя
длина свободного пробега
(см. рисунок 10). Цифры на рисунке 10
обозначают интервалы времени
или пути
,
проходимые частицей до следующего
столкновения. Средняя длина свободного
пробега равняется скаляру
.
Если рассматривать
атомы или молекулы как шарики с диаметром
d
, то можно ввести газокинетическое
поперечное сечение,
равное площади круга
. Поперечное сечение характеризует
вероятность столкновения частиц. С
помощью распределения Максвелла можно
найти, что
,
где
– концентрация частиц, т.е. число частиц
в единице объема.
Сечение определяется путем сложных квантовомеханических расчетов или по данным экспериментов.
Если взять
отношение
к
,
то мы получим среднюю
скорость
частиц ансамбля, которая, равна
.
Эту формулу можно получить, используя распределение Максвелла по модулям скоростей,
.
Введённые средние величины используются для описания процессов переноса, среди которых основное значение имеют процесс переноса вещества – диффузия, процесс переноса энергии – теплопроводность, процесс переноса импульса – вязкость или внутреннее трение.
Диффузия приводит к установлению равновесного пространственного распределения частиц. Для одномерного случая она подчиняется первому закону Фика
.
Здесь D
– коэффициент диффузии (размерность
),
– плотность вещества (
),
–
элементарная площадка, перпендикулярная
оси х,
– масса вещества, перенесенного через
за время
.
Знак « – » показывает, что вещество
самопроизвольно переносится туда, где
его меньше.
Второй закон Фика рассматривает диффузию как процесс во времени. Для изотропной модели он имеет вид
.
Здесь введен оператор Лапласа
.
Диффузию часто характеризуют плотностью потока диффундирующего вещества (вектор)
.
Поток указывает, куда и какое количество вещества переносится за единицу времени через единичную поверхность.
Строго говоря, пока речь шла о самодиффузии, связанной только с неоднородностью ансамбля из одинаковых частиц (её можно наблюдать, введи радиоактивные изотопы данных частиц). Подобным же образом происходит диффузия в смесях частиц или в твердых телах, в неоднородном поле температуры (термодиффузия), в неоднородном поле давления (бародиффузия), диффузия в различных внешних полях – электрическом, магнитном, световом.
Для коэффициента самодиффузии статистическая теория дает
.
Похожим образом проводится описание теплопереноса. В изотропной среде для этого используется уравнение Фурье, являющееся следствием закона сохранения энергии при её кинетическом рассмотрении. В одномерном стационарном случае это уравнение имеет вид
,
здесь
– коэффициент теплопроводности,
,
знак « – » учитывает, что тепло
передается от более нагретой части
системы к менее нагретой, через площадку
,
перпендикулярную оси х, за время
.
Кинетическая теория дает
,
где – удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Полное уравнение теплопроводности в однородной изотропной системе, носящее специальное название «уравнение температуропроводности» , имеет вид
где температура
,
– коэффициент температуропроводности.
Наконец, внутреннее трение или вязкость связана с законом сохранения импульса и возникает из-за трения между условно выделенными слоями жидкости или газа при их параллельном движении с различными скоростями. Импульс передается от слоя к слою перпендикулярно направлению движения слоев. В стационарной системе при движении частиц вдоль оси у для описания вязкости используют уравнение Ньютона
,
– площадка,
параллельная слоям и направлениям их
движения, ось х
перпендикулярна
слоям и скоростям,
– коэффициент вязкости с размерностью
,
– сила, которая действует на поверхность
.
По элементарной кинетической теории
.
Движение сферически симметричного тела радиусом R в вязкой жидкости было рассмотрено Стоксом, который получил следующее выражение для модуля силы вязкости
.
Вектор силы вязкости направлен против направления скорости, так что
.
Рекомендованная литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: «Наука», 2005.
2. Орир Дж. Физика: В 2 т. Т. 1. – М.: «Мир», 1981.
3. Сивухин Д.в. Общий курс физики. Термодинамика.
4. Стрекалов В.Н. Механика: конспект лекций. – М.: МГТУ «СТАНКИН»,
1998.
5. Сайт www.vikipedia.ru
6. Стрекалов В.Н. Механика: методические указания к решению задач.– М.:
МГТУ «СТАНКИН», 2010.
Вопросы к экзамену.