Тема 4. Умовивід

Актуальність теми полягає в тому, що вона формує культуру побудови висновку, а також уявлення:

• про структуру умовиводів;

• про ознаки і правила безпосередніх умовиводів;

• про особливості дедуктивних та індуктивних опосередкованих умовиводів;

• про терміни та закони категоричного силогізму, шляхи його вирішення;

• про метод індексів у вирішенні полісилогізмів (соритів).

Ознайомтеся з цілями заняття.

Мета (загальна): засвоїти особливості визначення типу та структури умовиводів, а також їх вирішення.

Для цього необхідно вміти (конкретні цілі):

• застосовувати правила та моделі у вирішенні безпосередніх силогізмів;

• визначати терміни категоричного силогізму, більший та менший засновки;

• знаходити рішення силогізму та його модус;

• користуватись методом індексів для знаходження висновку полісилогізму.

Для реалізації цілей навчання необхідні початкові знання та вміння:

• знати правила перетворення, обернення, протиставлення предикату;

• вміти робити висновки безпосередніх умовиводів за логічним квадратом .

• знати алгоритм вирішення категоричного силогізму;

• вміти визначати структуру силогізму;

• знати правила запису індексів у полісилогізмах та формулювання висновку.

Для засвоєння необхідних початкових знань, ознайомтесь з графом логічної структури (блок-схемою 4).

Теоретичні питання, на базі яких можливе виконання цільових видів діяльності:

1. Загальна характеристика і структура умовиводу. Типологія умовиводів.

2. Індукція і дедукція.

3. Безпосередні умовиводи з простих суджень: перетворення, обернення, протиставлення предикату.

4. Опосередковані умовиводи з простих та складних суджень. Простий категоричний силогізм. Структура, загальні правила, фігури і модуси простого категоричного силогізму.

Алгоритм

1 етап: Вивчити структуру умовиводів, і їх класифікацію.

Мета: вміти встановлювати засновки та зв’язку в умовиводі, визначати його місце у класифікації.

2 етап: Вивчити ознаки індуктивних та дедуктивних умовиводів.

Мета: знати послідовність логічних операцій для індукції та для дедукції.

3 етап: Вивчити формули безпосередніх умовиводів з простих суджень.

Мета: вміти здійснювати перетворення, обернення, протиставлення предикату, умовиводи за логічним квадратом..

4 етап: Вивчити особливості категоричного силогізму, шляхи його вирішення.

Мета: знати структуру, правила та основні фігури силогізму, вміти називати його терміни а модус, робити висновок і перевіряти його.

5 етап: Вивчити структуру полісилогізму, метод індексів Ч. Доджсона.

Мета: знати ознаки просилогізму та протосилогізму, особливості соритів, вміти визначати індекси за наявністю ознаки, записувати відповідь символами та судженням.

Теоретичний блок:

Умовивід – це така форма мислення, за допомогою якої з одного або кількох суджень виводиться нове судження, яке містить у собі нове знання. Наприклад, коли з двох суджень: 1) кожен обвинувачуваний має право на захист і 2) Петренко – обвинувачуваний; виводиться третє судження Петренко має право на захист, ми робимо умовивід.

Термін “умовивід” вживається у подвійному значенні. Під умовиводом розуміють і розумовий процес виведення нового знання із суджень, і саме нове судження, як наслідок розумової операції. Будь-який умовивід складається із засновків і висновку.

Засновки – це судження, із яких виводиться нове знання.

Висновок – судження, виведене із засновків.

Наприклад, візьмемо умовивід: “Будь-який злочин суспільно небезпечний,” “Крадіжка є злочин.” Отже крадіжка суспільно небезпечна. У цьому умовиводі перші два судження є засновниками, а третє судження, яке стоїть після слова “отже”, - висновок.

Умовивід – це логічний засіб здобування нового знання. У будь-якому умовиводі слід розрізняти три види знань:

1. Вихідне знання, те, з якого виводиться нове знання. Воно міститься в засновках умовиводу.

1. Висновкове знання – міститься у висновку.

2. Обґрунтовуюче знання – знання, яке пояснює правомірність висновку із засновків.

За допомогою умовиводів здобувають опосередковані та безпосередні знання.

Безпосередніми називаються знання, здобуті за допомогою безпосереднього сприйняття предметів, або явищ. Наприклад, “ця стіна біла” і т. д.

Опосередкованими (висновковими) знаннями називаються знання, які ми виводимо з наявних, раніше здобутих знань. Наприклад, знання про виникнення життя на Землі, про походження людини, земних матеріалів, гір, морів тощо.

Слід зазначити, що безпосередні знання складають незначну частину всіх знань. Основними знаннями є знання опосередковані.

Умовиводи, за кількістю засновків, також поділяються на безпосередні та опосередковані. Безпосереднім називається такий умовивід, у якому висновок робиться з однієї посилки. опосередкованим називається такий умовивід, у якому висновок робиться з двох і більше засновків. За спрямованістю процесу міркування опосередковані умовиводи поділяються на дедуктивні та індуктивні.

Дедуктивним (від лат. – виведення) називається умовивід, у якому висновок про окремий предмет класу робиться на підставі класу в цілому. Наприклад: “усі договори є угоди. Петренко уклав договір. Отже, Петренко уклав угоду.” У дедуктивному умовиводі думка рухається від загального до окремого, одиничного, тому дедукцію визначають звичайно як умовивід від загального до часткового.

Дедукція дає висновки достовірні. У цьому одна з її переваг над іншими видами умовиводів. В залежності від того, з яких суджень складається дедуктивний умовивід, з категоричних, умовних чи розподільних, розрізняють такі види дедуктивних умовиводів: категоричний силогізм, умовні силогізми і розподільні. Термін “силогізм” походить від грецького слова здобуття висновку чи виведення наслідку.

Категоричним силогізмом називається такий дедуктивний умовивід, у якому обидва засновки є категоричними судженнями. Наприклад: “будь-який злочин є діянням суспільнонебезпечним. Хабар є злочин. Отже, хабар є діянням суспільнонебезпечним.” Категоричний силогізм складається із трьох суджень: двох засновків і висновку. Засновки і висновки у свою чергу складаються з понять. Ці поняття називаються термінами силогізму (розрізняють три терміна: менший, більший, середній).

Умовним силогізмом називається силогізм, у якому один або обидва засновки є умовними судженнями. Розрізняють два види умовних силогізмів: умовно-категоричний силогізм і чисто умовний силогізм. Умовно-категоричним є такий силогізм, у якому більший засновок є судженням умовним, а менший – категоричним. Суто умовний силогізм – це такий силогізм, у котрому засновки є судженням умовним.

Розподільні силогізми різняться на розподільно-категоричні та умовно-розподільні. Розподільно-категоричним силогізмом називається такий умовивід, у якому більший засновок є судженням розподільним, а менший – категоричним. Умовно-розподільним є силогізм, у якому більший засновок є судженням умовним, а менший – розподільним.

Індукція – це такий умовивід, у якому на основі знання частини предметів класу робиться висновок про всі предмети класу, про клас у цілому. Індукція – це умовивід від часткового до загального. Термін індукція походить від латинського слова наведення. Індукція, як і будь-який умовивід, складається із засновків і висновку.

Засновки в індукції – це судження про окремі факти, одиничні предмети чи групи предметів і явищ.

Висновок – судження про клас предметів або явищ у цілому.

Умовивід є пізнання опосередковане, до знання одних предметів ми приходимо унаслідок пізнання інших предметів. Робити умовивід – означає виводити нове знання із наявних знань. Прикладом індукції є такий умовивід: “ мідь проводить електрику, залізо проводить електрику, калій проводить електрику, срібло проводить електрику; мідь, залізо, калій, срібло – метали. Отже, всі метали проводять електрику.” У вигляді формули індуктивний умовивід можна записати так: S1 є P, S2 є P,S3 є P,S1, S2, S3 становлять частину предметів класу S, отже, всі S є P.

Індукція може бути повною і неповною. Повною індукцією є умовивід, у якому загальний висновок про клас предметів робиться на підставі вивчення всіх предметів цього класу. У вигляді схеми умовивід повної індукції можна записати так: S1 є P, S2 є P,S3 є P,S1, S2, S3 вичерпують клас предметів S, отже, всі S є P.

Повна індукція складається із засновків і висновку. Розрізняють засновки подвійного типу: 1) засновки, у яких відбиті судження про окремі факти (їх у повній індукції стільки, скільки налічується предметів, що складають даний клас); 2)один із засновків у повній індукції є судження, у якому виражено знання про те, що перелічені предмети вичерпують собою клас досліджуваних предметів. У практиці мислення цей засновок звичайно не висловлюється, а мається на думці.

Повна індукція дає висновки не імовірні, а достовірні. У цьому важлива перевага повної індукції. Основою достовірності висновків є те, що засновки у повній індукції вичерпують клас предметів.

Неповною індукцією називається умовивід, у якому загальний висновок виводиться з засновків, котрі не вичерпують усі предмети класу. Особливість неповної індукції полягає в тому, що те, що нам відомо про частину предметів класу, ми поширюємо на увесь клас, на всі його предмети. У неповній індукції знання з вивчених фактів переноситься на факти, які не вивчаються.

Аналогія – це такий умовивід, в якому від схожості предметів в одних ознаках робиться висновок про схожість цих предметів і в інших ознаках. Умовивід за аналогією відбувається так: якщо порівнюючи два предмета, встановлюють, що предмет А має ознаки abcd, а предмет В має ознаки abc, то роблять здогадний висновок про те, що предмет В має і ознаку d. Схематично структуру умовиводу можна записати так: А має ознаки abcd, В має ознаки abc: отже, В має ознаку d.

Аналогія – це такий умовивід, у якому рух думки відбувається від окремого до окремого, від часткового до часткового. Вихідним знанням в аналогії є знання про окремий предмет.

Безпосередньою або логічною думкою висновків за аналогією є таке положення: якщо два предмети схожі в одних ознаках, то вони можуть бути схожими в інших ознаках, виявлених в одному із порівнювальних предметів. Але аналогія дає висновки не достовірні, а тільки імовірні. Отже, ступінь імовірності висновків в умовиводах за аналогією залежить від кількості порівнювальних ознак, від зв’язку порівнювальних ознак тощо.

Дехто з логіків розрізняє аналогію предметів і аналогію відносин.

Під аналогією предметів розуміють такий умовивід, в якому вживаються два одиничних предмети, а переносною ознакою виступає властивість одного з цих предметів.

Аналогія відносин – це такий умовивід, у якому уподібнюють один одному не два окремих предмета, а два відношення між ними. Розділяють також точну аналогію і просту (неточну). Точною аналогією називають аналогію, у якій висновок робиться на основі знання того, що переношувана ознака (d) перебуває в залежності від ознаки схожості (abc). Проста аналогія – це така аналогія, коли невідомо, чи знаходиться переношувана ознака (d) в залежності від ознак (abc) чи ні. Точна аналогія дає висновки вищого ступеню імовірності, що наближується до достовірних, ніж проста аналогія, висновки котрої можуть бути найменшої імовірності.

Аналогія є логічною основою висловів, здобутих за допомогою методу моделювання. Метод моделювання полягає в тому, що при пізнанні певного об’єкту використовують інший об’єкт, що замінює перший. Метод моделювання дає змогу вивчити предмет не безпосередньо, а опосередковано, через інший предмет (модель). Під час моделювання, як і в аналогії, знання з одного предмета (моделі) переноситься на інший предмет (оригінал).

Домашнє завдання

1. Поясніть різницю між індукцією та дедукцією. Наведіть приклади.

2. Здійсніть всі можливі безпосередні умовиводи на основі наведених засновків:

   1. Деякі студенти вивчають економіку.

   2. Жодна риба не має ніг.

3. Вирішіть силогізм. Назвіть його терміни та модус. Зазначте, які правила категоричного силогізму тут діють.

«В некоторые праздничные дни не идет дождь.

Дождливые дни навевают тоску.» (Л. Кэрролл)

4. Проаналізуйте твори, представте його у вигляді умовно-розподільного умовиводу.

• "Ні, мамо, не можна нелюба любить! Нещасная доля із нелюбом жить. Ох, тяжко, ох, важко з ним річ розмовляти! Хай лучче я буду ввесь вік дівовати!" *** - Хіба ж ти не бачиш, яка я стара? Мені в домовину лягати пора. Як очі закрию, що буде з тобою? Останешся, доню, одна, сиротою! *** А в світі якеє життя сироті? І горе, і нужду терпітимеш ти. Я, дочку пустивши, мовляв, на поталу, Стогнать під землею як горлиця стану. *** "О мамо, голубко, не плач, ие ридай. Готуй рушники і хустки вишивай. Нехай за нелюбом я щастя утрачу; Ти будеш весела, одна я заплачу!" *** Ген там, на могилі, хрест божий стоїть, Під ним рано й вечір матуся квилить; "О боже мій-милий! що я наробила! Дочку, як схотіла, із світа згубила!"

(Євген Гребінка, Українська мелодія)

• Життя іде і все без коректур. І час летить, не стишує галопу. Давно нема маркізи Помпадур, і ми живем уже після потопу. Не знаю я, що буде після нас, в які природа убереться шати. Єдиний, хто не втомлюється, - час. А ми живі, нам треба поспішати. Зробити щось, лишити по собі, а ми, нічого, - пройдемо, як тіні, щоб тільки неба очі голубі цю землю завжди бачили в цвітінні. Щоб ці ліси не вимерли, як тур, щоб ці слова не вичахли, як руди. Життя іде і все без коректур, і як напишеш, так уже і буде. Але не бійся прикрого рядка. Прозрінь не бійся, бо вони як ліки. Не бійся правди, хоч яка гірка, не бійся смутків, хоч вони як ріки. Людині бійся душу ошукать, бо в цьому схибиш - то уже навіки. (Ліна Костенко)

• Нема на світі України, Немає другого Дніпра; А ви претеся на чужину                       Шукати доброго добра, Добра святого. Волі! волі! Братерства братнього! Найшли, Несли, несли з чужого поля І в Україну принесли Великих слов велику силу, Та й більш нічого. Кричите, Що бог создав вас не на те, Щоб ви неправді поклонились!.. І хилитесь, як і хилилисьі І знову шкуру дерете З братів незрящих, гречкосіїв; І сонця правди дозрівать В німецькі землі, не чужії, Претеся знову!.. Якби взять І всю мізерію з собою, Дідами крадене добро, Тоді оставсь би сиротою З святими горами Дніпро! (Тарас Шевченко. І мертвим, і живим, і ненародженим…)

5. Визначте тип і структуру умовиводів, що містяться у наступних фрагментах. Назвіть засновки та висновок.

• КОПАЧ. Одразу ж не можна! Ви візьміть прімєр з свині: от вона ходить на подвір'ї худа, обдрипана, а закинули ви її в саж, стали харчі кращі давать - то вона помалу й отягнеться, а там і сало наростає, - так і ви... Опит - велікоє діло! ГЕРАСИМ. Спасибі! То це ви мене з свинею рівняєте? КОПАЧ. Не в тім річ! Ви не обіжайтесь-це прімєр. Ви не взирайте! Помалу, помалу і у вас сала набереться доволі, тоді порівняєтесь з Чоботом, а може, і з Жолудьом... На все свій час, своє врем'я. Не можна ж зразу, в тім і прімєр... (Іван Карпенко-Карий. Сто тисяч)

• І знову мені не привезла Нічого почта з України... За грішнії, мабуть, діла Караюсь я в оцій пустині Сердитим богом. Не мені Про теє знать, за що караюсь, Та й знать не хочеться мені. А сердце плаче, як згадаю Хоч невеселії случаї І невеселії ті дні, Що пронеслися надо мною В моїй Україні колись... Колись божились та клялись, Братались, сестрились зо мною, Поки, мов хмара, розійшлись Без сльоз, роси тії святої. І довелося знов мені Людей на старості... Ні, ні! Вони з холери повмирали; А то б хоч клаптик переслали Того паперу... (Тарас Шевченко)

6. Розгляньте байки, визначте аналогію. Зазначте основу зіставлення, риси схожості.

• "Чого ти так мене, паскудо, в боки пхаєш?" - На Коноплиночку в степу Будяк тукав. "Да як рости мені? і сам здоров ти знаєш, Що землю у мене з-під-корінця забрав". *** Бува і чоловік сьому колючці пара: Людей товче та й жде, тдоб хто його кохав. Я бачив сам таких і, може б, показав, Та цур йому! розсерджу комісара! (Євген Гребінка. Будяк та Коноплиночка)

• Зозуля прилетіла до чорного Дрозда.      - Чи тобі не нудно? - питає його.- Що ти робиш?      - Співаю,- відказує Дрозд.- Хіба не чуєш?      - Я  співаю частіше від тебе, проте однаково нудно...      - Так ти ж, пані, тільки те й робиш, що, підкинувши в чуже гніздо свої яйця, з місця на місце перелітаєш, співаєш, п'єш та їси. А я сам годую, бережу і вчу своїх дітей, а працю свою полегшую співом.

Сила:      Багато хто, занедбавши споріднену їм роботу, лише співають, п'ють та їдять. У сім гультяйстві вони терплять їдучішу нудьгу, ніж ті, хто працює без ослабу. Співати, пити та їсти - не робота, а лише крихітний хвостик з головного, призначеного нам діла. А хто для того їсть, п'є та співає, щоб охочіше після відпочинку взятися до роботи, як до покликання свого, тому ніколи нудьгувати: щодня він і працює, і відпочиває, і се про нього приказка: "Добрій людині щодня свято". Робота наша - джерело радості. А коли кого своя робота не звеселяє, той, звичайно, їй не родич і не її вірний приятель, але щось біля неї любить, і як не спокійний, так і не щасливий. Але немає нічого солодшого, як спільна для нас усіх робота. Вона є голова, світло і сіль будь-якого окремого заняття... Щасливий той, хто поєднав любе собі заняття із загальним. Воно є справжнє життя. І тепер можна зрозуміти таке Сократове слово: "Дехто живе для того, щоб їсти й пити, а я п'ю й їм для того, щоб жити". (Григорій Сковорода. Зозуля та дрізд)

• - Скажи мені, Бджоло, чого ти така дурна? Чи знаєш ти, що плоди твоєї праці не стільки тобі самій, як людям корисні, а тобі часто і шкодять, приносячи замість нагороди смерть; одначе не перестаєш через дурість свою збирати мед. Багато у вас голів, але всі безмозкі. Видно, що ви без пуття закохані в мед.

- Ти поважний дурень, пане раднику,- відповіла Бджола.- Мед любить їсти й ведмідь, а Шершень теж не проти того. І ми могли б по-злодійському добувати, як часом наша братія й робить, коли б ми лише їсти любили. Але нам незрівнянно більша радість збирати мед, аніж його споживати. До сього ми народжені і будемо такі, доки не помремо. А без сього жити, навіть купаючись у меду, для нас найлютіша мука.

Сила:     Шершень - се образ людей, котрі живуть крадіжкою чужого і народжені на те тільки, щоб їсти, пити і таке інше. А бджола - се символ мудрої людини, яка у природженому ділі трудиться. Багато шершнів без пуття кажуть: нащо сей, до прикладу, студент учився, а нічого не має? Нащо, мовляв, учитися, коли не матимете достатку?.. Кажуть се незважаючи на слова Сіраха: "Веселість серця - життя для людини" - і не тямлять, що природжене діло є для неї найсолодша втіха. Погляньте на життя блаженної натури і навчітеся. Спитайте вашого хорта, коли він веселіший? - Тоді,- відповість вам,- коли полюю зайця.- Коли заєць смачніший? - Тоді,- відповість мисливець,-коли добре за ним полюю.     Погляньте на кота, що сидить перед вами, коли він куражніший? Тоді, коли всю ніч бродить або сидить біля нори, хоча, зловивши, й не їсть миші. Замкни в достатку бджолу, чи не помре з туги, в той час, коли можна їй літати по квітоносних лугах? Що гірше, ніж купатися в достатку і смертельно каратися без природженого діла? Немає гіршої муки, як хворіти думками, а хворіють думки, позбавляючись природженого діла. І немає більшої радості, аніж жити за покликанням. Солодка тут праця тілесна, терпіння тіла і сама смерть його тоді, бо душа, володарка людини, втішається природженим ділом. Або так жити, або мусиш умерти. Старий Катон чим мудрий і щасливий? Не достатком, не чином тим, що йде за натурою, як видно з Ціцеронової книжечки "Про старість"...     Але ж розкусити треба, що то значить-жити за натурою. Про се сказав древній Епікур таке: "Подяка блаженній натурі за те, що потрібне зробила неважким, а важке непотрібним".(Григорій Сковорода. Бджола і Шершень)

• Я бачив, як пшеницю мили: То щонайкращеє зерно У воду тільки плись, якраз пішло на дно, Полова ж, навісна, пливе собі по хвилі. *** Привів мене господь побачить і панів: Мов простий чоловік, там інший пан сидів, Другі, задравши ніс, розприндившись, ходили. І здумав зараз я, як тільки поглядів, Що бачив, як пшеницю мили. (Євген Гребінка. Пшениця)

7. Проаналізуйте силогізми, запропоновані Л. Шестовим. Знайдіть приклади дедуктивного умовиводу та аналогії. Визначте логічну структуру умовиводів (засновки і висновок). Визначте валідність висновків.

• Фарисей, в Евангельской притче, исполнил все, что от него требовала религия, - он соблюдал посты, отдавал десятину и т.д. Вправе ли был он радоваться своему благочестию и презирать преступного мытаря? Все думают, что вправе, и фарисей так думал. Суд Христа был для него величайшей неожиданностью. У него совесть была чиста, он не пред другими притворялся святым, он верил сам в свою святость. И вдруг он оказывается виноватым, и как виноватым. Но если совесть совестливого человека не помогает нам отличить добро от зла, то, как уберечься от преступления? И что значит кантовский нравственный закон, который утешал его так же, как и звездное небо? Кант прожил свою жизнь в глубоком душевном мире и встретил смерть спокойно, в сознании, что он ни пред кем ни в чем не виноват. Но, если бы вновь пришел Христос, Он, может быть, осудил его за праведность. Ибо фарисей, повторяю, был праведным – если только чистота намерений, соединенная с готовностью честно исполнить все, что считаешь долгом, есть праведность.

• Иванов – в драме А. Чехова того же названия – сравнивает себя с надорвавшимся рабочим: рабочий умер, и Иванову остается только умереть. Но логика, как известно, рекомендует с большой осторожностью относиться к умозаключениям по аналогии. Ведь вот же сам Чехов, вынесший, по всем видимостям, в своей душе такую же драму, как Иванов, не умер и даже не оказался лишним человеком! Он что-то делает, он борется, ищет и его дело кажется нам таким же важным и значительным, как и другие важные человеческие дела. Иванов застрелился, потому что Чехов не кончил еще своей борьбы, а драму нудно было кончать – того требует современная эстетика, которая, от аристотельских единств отказалась, но не допускает и мысли о возможности пьесы без развязки. Еще немного времени – и драматические писатели избавятся от этого стеснения: им разрешат открыто признаться, что они не знают, как и чем кончать. В повестях уже и теперь обходятся без конца.

• Мы видим, что человек раскаивается в своем поступке, и делаем из этого заключение: таких поступков нужно избегать. Пример ложного, но безукоризненного на вид заключения. Проходит некоторое время, и мы видим того же человека, вновь раскаивающегося по поводу второго такого же поступка. Если мы дорожим логикой, то это утвердит нас в нашем первом выводе. Если же мы не дорожим логикой, мы скажем: человеку одинаково нужно и совершать «поступки» и каяться. Иногда, впрочем, ошибка первого заключения исправляется иначе. Сделав вывод, что раскаяние говорит за необходимость избегать известных дел, человек всю жизнь их избегает и вдруг с необыкновенной ясностью начинает испытывать раскаянье по поводу того, что он "не делал". Но тогда уже заключение практически бесполезно: жизнь окончена, и просветлевший ум не знает, как отделаться от ненужного света.

• Наполеон слыл знатоком человеческой души. Шекспир – тоже. И их знания не имеют меж собой ничего общего. (Лев Шестов. Апофеоз беспочвенности).

Виконайте завдання з теми «УМОВИВІД» (SYLLOGISM) англійською мовою. Вправи на аналіз та вирішення індуктивних та умовно-категоричних умовиводів, а також категоричних силогізмів спрямовані навдосконалення навичок визначення причинно-наслідкових звязків у англомовному висловлюванні чи тексті, допоможуть сформувати навички аналізу послідовності та правильносьті побудови висновків.

A. Put each of the following statements in the standard form of categorical syllogisms; identify the terms and the mood. Determine whether the syllogism is valid or invalid (based on David Kelley. The Art of Reasoning).

1. Some democracies are tyrannies, because any state that ignores human rights is tyrannical, and some democracies do just that.

2. We should never confuse music and noise: music is an orderly progression of sounds, noise is disorderly one.

3. Some international conflicts arise from honest motives, but no aggressive war arises in that way. Hence some aggressive wars are not international conflicts.

4. “That man must be tremendously ignorant: he answers every question that is put to him.” (Voltaire, Dictionnaire Philosophique)

5. “He who would rejoice loudly of his victories cannot expect to thrive in the world of men, for he who rejoices over victory does so at the expence of other men ” (Tao Te Ching)

B. Determine the type of the hypothetical syllogisms (modus ponens or modus tollens). Put them in standard form and determine whether they are valid (based on David Kelley. The Art of Reasoning).

1. I knew I would be late if I didn’t hurry, but I did hurry, so I wasn’t late.

2. Robin wasn’t really embarrassed, because the blotch she gets whenever she’s embarrassed wasn’t there.

3. “It is only about the things that do not interest one, that one can give a really unbiased opinion; and this is no doubt the reason why an unbiased opinion is always absolutely valueless.” (More Letters of Oscar Wild, ed. Rupert Hart-Davis)

4. “Had we but world enough, and time,

This coyness, lady, were no crime...

but at my back I always hear

Time’s winged chariot hurrying near...” (Andrew Marwell, To His Coy Mistress)

C. Analyze the arguments, identify their structure, and determine whether the arguments are valid (based on David Kelley. The Art of Reasoning).

1. “Since happiness consists in peace of mind, and since durable peace of mind depends on the confidence we have in 5the future, and since that confidence is based on an understanding of the nature of God and the soul, it follows that true happiness requires that understanding.” (Gottfried Leibnitz, Preface to the General Science)

2. “Touchstone: ... Wast ever in court, shepherd?

Corin: No,truly.

Touchstone: Then thou art damned...

Corin: For not being in court? Your reason.

Touchstone: Why, if thou never wast at court, thou never saw’st good manners; if thou never saw’st good manners, then thy manners must be wicked; and wickedness is sin, and sin is damnation. Thou art in a parlous state, shepherd. (William Shakespeare, As You Like It)

D. Evaluate the following inductive generalizations. Find some confirming and disconfirming instances (based on David Kelley. The Art of Reasoning).

1. Women are only interested in clothes.

2. Men are only interested in one thing.

3. Absence makes the heart grow fonder.

4. People who own homes take better care of them than do people who rent.

E. Analyze the situations, define the type and structure of the syllogisms. Formulate the premises and the conclusion, evaluate the latter.

1. I had three encouragements - 1st, a smooth, calm sea; 2ndly, the tide rising, and setting in to the shore; 3rdly, what little wind there was blew me towards the land. And thus, having found two or three broken oars belonging to the boat - and, besides the tools which were in the chest, I found two saws, an axe, and a hammer; with this cargo I put to sea. For a mile or thereabouts my raft went very well, only that I found it drive a little distant from the place where I had landed before; by which I perceived that there was some indraft of the water, and consequently I hoped to find some creek or river there, which I might make use of as a port to get to land with my cargo. (Daniel Defoe. Robinson Crusoe)

2. It was Mrs. Poppets that woke me up next morning.

She said: “Do you know that it's nearly nine o'clock, sir?"

"Nine o' what?" I cried, starting up.

"Nine o'clock," she replied, through the keyhole. "I thought you was a-oversleeping yourselves."

I woke Harris, and told him. He said: «I thought you wanted to get up at six?"

"So I did," I answered; "why didn't you wake me?"

"How could I wake you, when you didn't wake me?" he retorted. "Now we shan't get on the water till after twelve. I wonder you take the trouble to get up at all."

"Um," I replied, "lucky for you that I do. If I hadn't woke you, you'd have lain there for the whole fortnight." (Jerome K. Jerome. Three Men in a Boat)

F. Analyze the example of analogy. Find the informational links between the concepts compared that make the analogy possible.

Cruelty has a human heart,

And Jealousy a human face;

Terror the human form divine,

And Secresy the human dress.

***

The human dress is forged iron,

The human form a fiery forge,

The human face a furnace sealed,

The human heart its hungry gorge. (William Blake. A Divine Image)

Класична задача за темою

Carroll’s Paradox

In 1895, in the journal Mind, the Oxford logician and author of Alice in Wonderland, Lewis Carroll, published a playful dialogue between Achilles and the Tortoise which brought to light a central problem in logic as it was understood at the time. Specifically, he showed that merely having axioms – even the best and most perfect axioms – is not sufficient for determining truth in a system of logic; for one also must be very careful about one’s choice of rules of inference. In other words, one’s assumptions must be explicitly augmented by the exact mechanisms by which one is to deduce consequences from those assumptions.

In his dialogue (which is fully reproduced below), Carroll tackles the single most important rule of first-order logic, modus ponens, which says that if a statement P is assumed, and if the conditional statement “P implies Q” is also assumed (or previously proved), then the statement Q itself is a logical consequence and may therefore be considered proved. What Achilles learns, to his lasting regret, is that modus ponens must be first granted as a rule of inference, for otherwise no conclusion can ever be reached.

Readers may wish to note that Carroll is drawing on what has become a tradition, starting with Zeno of Elea and continuing with the modern author Douglas Hofstadter, of using a dialogue between the Homeric hero Achilles and the comical figure of the Tortoise to make an important philosophical point. Compare with Zeno's Paradox of the Tortoise and Achilles.

What the Tortoise Said to Achilles by Lewis Carroll

Achilles had overtaken the Tortoise, and had seated himself comfortably on its back. “So you’ve got to the end of our race-course?” said the Tortoise. “Even though it DOES consist of an infinite series of distances? I thought some wiseacre or other had proved that the thing couldn’t be done?” “It CAN be done,” said Achilles. “It HAS been done! Solvitur ambulando. You see the distances were constantly DIMINISHING; and so –” “But if they had been constantly INCREASING?” the Tortoise interrupted. “How then?” “Then I shouldn’t be here,” Achilles modestly replied; “and YOU would have got several times round the world, by this time!” “You flatter me – FLATTEN, I mean,” said the Tortoise; “for you ARE a heavy weight, and NO mistake! Well now, would you like to hear of a race-course, that most people fancy they can get to the end of in two or three steps, while it REALLY consists of an infinite number of distances, each one longer than the previous one?” “Very much indeed!” said the Grecian warrior, as he drew from his helmet (few Grecian warriors possessed POCKETS in those days) an enormous note-book and pencil. “Proceed! And speak SLOWLY, please! SHORTHAND isn’t invented yet!” “That beautiful First Proposition by Euclid!” the Tortoise murmured dreamily. “You admire Euclid?” “Passionately! So far, at least, as one CAN admire a treatise that won’t be published for some centuries to come!” “Well, now, let’s take a little bit of the argument in that First Proposition – just TWO steps, and the conclusion drawn from them. Kindly enter them in your note-book. And in order to refer to them conveniently, let’s call them A, B, and Z: –

(A) Things that are equal to the same are equal to each other. (B) The two sides of this Triangle are things that are equal to the same. (Z) The two sides of this Triangle are equal to each other.

Readers of Euclid will grant, I suppose, that Z follows logically from A and B, so that any one who accepts A and B as true, MUST accept Z as true?” “Undoubtedly! The youngest child in a High School – as soon as High Schools are invented, which will not be till some two thousand years later – will grant THAT.” “And if some reader had NOT yet accepted A and B as true, he might still accept the SEQUENCE as a VALID one, I suppose?” “No doubt such a reader might exist. He might say, ‘I accept as true the Hypothetical Proposition that, if A and B be true, Z must be true; but I DON’T accept A and B as true.’ Such a reader would do wisely in abandoning Euclid, and taking to football.” “And might there not ALSO be some reader who would say ‘I accept A and B as true, but I DON’T accept the Hypothetical’?” “Certainly there might. HE, also, had better take to football.” “And NEITHER of these readers,” the Tortoise continued, “is AS YET under any logical necessity to accept Z as true?” “Quite so,” Achilles assented. “Well, now, I want you to consider ME as a reader of the SECOND kind, and to force me, logically, to accept Z as true.” “A tortoise playing football would be –” Achilles was beginning. “– an anomaly, of course,” the Tortoise hastily interrupted. “Don’t wander from the point. Let’s have Z first, and football afterwards!” “I’m to force you to accept Z, am I?” Achilles said musingly. “And your present position is that you accept A and B, but you DON’T accept the Hypothetical –” “Let’s call it C,” said the Tortoise. “– but you DON’T accept

(C) If A and B are true, Z must be true.”

“That is my present position,” said the Tortoise. “Then I must ask you to accept C.” “I’ll do so,” said the Tortoise, “as soon as you’ve entered it in that notebook of yours. What else have you got in it?” “Only a few memoranda,” said Achilles, nervously fluttering the leaves: “a few memoranda of – of the battles in which I have distinguished myself!” “Plenty of blank leaves, I see!” the Tortoise cheerily remarked. “We shall need them ALL!” (Achilles shuddered.) “Now write as I dictate: –

(A) Things that are equal to the same are equal to each other. (B) The two sides of this Triangle are things that are equal to the same. (C) If A and B are true, Z must be true. (Z) The two sides of this Triangle are equal to each other.

“You should call it D, not Z,” said Achilles. “It comes NEXT to the other three. If you accept A and B and C, you MUST accept Z.” “And why must I?” “Because it follows LOGICALLY from them. If A and B and C are true, Z MUST be true. You can’t dispute THAT, I imagine?” “If A and B and C are true, Z MUST be true,” the Tortoise thoughtfully repeated. “That’s ANOTHER Hypothetical, isn’t it? And, if I failed to see its truth, I might accept A and B and C, and STILL not accept Z, mightn’t I?” “You might,” the candid hero admitted; “though such obtuseness would certainly be phenomenal. Still, the event is POSSIBLE. So I must ask you to grant ONE more Hypothetical.” “Very good, I’m quite willing to grant it, as soon as you’ve written it down. We will call it

(D) If A and B and C are true, Z must be true.

Have you entered that in your note-book?” “I HAVE!” Achilles joyfully exclaimed, as he ran the pencil into its sheath. “And at last we’ve got to the end of this ideal race-course! Now that you accept A and B and C and D, OF COURSE you accept Z.” “Do I?” said the Tortoise innocently. “Let’s make that quite clear. I accept A and B and C and D. Suppose I STILL refused to accept Z?“ “Then Logic would take you by the throat, and FORCE you to do it!” Achilles triumphantly replied. “Logic would tell you, ‘You can’t help yourself. Now that you’ve accepted A and B and C and D, you MUST accept Z.’ So you’ve no choice, you see.” “Whatever LOGIC is good enough to tell me is worth WRITING DOWN,” said the Tortoise. “So enter it in your book, please. We will call it

(E) If A and B and C and D are true, Z must be true.

Until I’ve granted THAT, of course I needn’t grant Z. So it’s quite a NECESSARY step, you see?” “I see,” said Achilles; and there was a touch of sadness in his tone. Here the narrator, having pressing business at the Bank, was obliged to leave the happy pair, and did not again pass the spot until some months afterwards. When he did so, Achilles was still seated on the back of the much-enduring Tortoise, and was writing in his notebook, which appeared to be nearly full. The Tortoise was saying, “Have you got that last step written down? Unless I've lost count, that makes a thousand and one. There are several millions more to come. And WOULD you mind, as a personal favour, considering what a lot of instruction this colloquy of ours will provide for the Logicians of the Nineteenth Century – WOULD you mind adopting a pun that my cousin the Mock-Turtle will then make, and allowing yourself to be renamed TAUGHT-US?” “As you please,” replied the weary warrior, in the hollow tones of despair, as he buried his face in his hands. “Provided that YOU, for YOUR part, will adopt a pun the Mock-Turtle never made, and allow yourself to be re-named A KILL-EASE!”

Сarroll’s humor in this piece disguises a point that is essential to understanding modern logic. Unlike in the classical, Aristotelian conception, modern mathematics relies ultimately on pure formalism in its use of logic. This avoids the infinite regress in which the Tortoise traps Achilles.

This trap is impossible to avoid if logic is not formalized, because, as Douglas Hofstadter points out in Gödel, Escher, Bach (p. 170), in order to know how to use a rule (such as a rule of inference) you need a rule telling you how to apply the rule. And then a rule telling you how to apply that rule, and so on. By contrast, in formal logic, rules of inference are reduced to rules of symbol manipulation. Since the symbols themselves are uninterpreted (which is what we really mean by “formal”), we have a system as austere and elegant as chess, where it is understood that the game arises from – and entirely consists in – the rules for moving the pieces on the board. The formalist solution, while effective, has its own philosophical drawbacks. Not the least of these is that, by reducing logic to uninterpreted symbols, all semantic content is removed from the conclusions of formal logic. In other words, what we would ordinarily consider meaning is lost. How to restore meaning to systems of inference while still avoiding difficulties such as Carroll’s Paradox remains a thorny question for philosophers of mathematics (see more information on http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/carroll/index.asp).

Тестові завдання заключного контролю

1. Визначте різновид безпосереднього умовиводу наступного засновку „Деякі книжки є джерелом економічної інформації”:

1. Деякі джерела економічної 1. перетворення

інформації є книжками. 2. протиставлення

2. Деякі книжки не є предикату

джерелом економічної інформації. 3. обернення

3. Деякі джерела економічної

інформації не є книжками.

2. Знайдіть приклад індуктивного умовиводу:

   1. Він навчається в інституті, отже він складає заліки.

   2. Театр є засобом виховання. Кіно є засобом виховання. Книги є засобом виховання. Це види мистецтва, отже мистецтво є засобом виховання.

   3. Якщо іде сніг, температура дещо підвищується. Іде сніг, отже температура дещо підвищилась.

3. Визначте вирішення та модус категоричного силогізму:

„Джон находится в этом доме.

Все, кто находится в этом доме, больны.” (Л. Кэрролл)

1. Все Джоны больны, ІАА

2. Джон болен, ІАІ

3. Больной Джон живет в этом доме, ААІ

FINAL TEST (Syllogism)

Analyze the abstract from the poem by Lewis Carroll. Find all the premises and conclusions. Define the type of the syllogisms.

THERE are certain things - as, a spider, a ghost,

The income-tax, gout, an umbrella for three -

That I hate, but the thing that I hate the most

Is a thing they call the Sea.

***

Pour some salt water over the floor -

Ugly I'm sure you'll allow it to be:

Suppose it extended a mile or more,

THAT'S very like the Sea.

***

Beat a dog till it howls outright -

Cruel, but all very well for a spree:

Suppose that he did so day and night,

THAT would be like the Sea.

***

I had a vision of nursery-maids;

Tens of thousands passed by me -

All leading children with wooden spades,

And this was by the Sea.

***

Who invented those spades of wood?

Who was it cut them out of the tree?

None, I think, but an idiot could -

Or one that loved the Sea.

***

It is pleasant and dreamy, no doubt, to float

With 'thoughts as boundless, and souls as free':

But, suppose you are very unwell in the boat,

How do you like the Sea?

***

There is an insect that people avoid

(Whence is derived the verb 'to flee').

Where have you been by it most annoyed?

In lodgings by the Sea.

***

If you like your coffee with sand for dregs,

A decided hint of salt in your tea,

And a fishy taste in the very eggs -

By all means choose the Sea.

***

And if, with these dainties to drink and eat,

You prefer not a vestige of grass or tree,

And a chronic state of wet in your feet,

Then - I recommend the Sea.

***

For I have friends who dwell by the coast -

Pleasant friends they are to me!

It is when I am with them I wonder most

That anyone likes the Sea.

***

They take me a walk: though tired and stiff,

To climb the heights I madly agree;

And, after a tumble or so from the cliff,

They kindly suggest the Sea.

***

I try the rocks, and I think it cool

That they laugh with such an excess of glee,

As I heavily slip into every pool

That skirts the cold cold Sea. (Lewis Carroll. A Sea Dirge)

ІНТЕРТЕМА. МЕТОД ІНДЕКСІВ У ВИРІШЕННІ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ

Мета: ознайомитись з методом індексів за Чарльзом Доджсоном на матеріалі задач з символічної логіки (російською та англійською мовами).

Метод Чарльза Доджсона

У своїй «Символічній логіці» Ч. Доджсон (Л. Керролл) пропонує оригінальну методику вирішення задач-соритів. Давайте розглянемо основні положення символічного оформлення засновків (вихідних суджень задачі):

• слід визначити універсальну множинність для всіх засновків – так званий «всесвіт»;

• кожна інформаційна частина задачі позначається перемінною – латинською літерою;

• ствердження позначається малою латинською літерою, наприклад, b;

• заперечення позначається, наприклад, b´;

• наявність об’єкта або ознаки позначається індексом 1;

• відсутність об’єкта або ознаки позначається індексом 0;

• між формулами засновків ставиться позначка †;

• перед відповіддю ставиться позначка = або Р;

• усі повторювані перемінні слід підкреслювати у формулі – це середні терміни, що зникатимуть у висновку незалежно від їх індексів.

Приклад вирішення задачі-сорита:

„…1. В этой коробке нет моих карандашей .- b₁c₀

2. Ни один из моих леденцов – не сигара .- d₀a´₁

3. Вся моя собственность, не находящаяся в этой коробке, состоит из сигар. - b´₁a₁

Вселенная – „мои вещи”, а = сигары, b = в этой коробке, c = карандаши, d = леденцы.” (Л. Кэрролл)

b₁c₀ † d₀a´₁ † b´₁a₁ = c₀d₀ - „Ни один мой карандаш не является леденцом”.

!!! Зверніть увагу на те, що відповідь-судження формулюється за допомогою значення «всесвіту» та перемінних.

Спробуйте самостійно вирішити соріти за методом Ч. Доджсона (соріти наводяться за виданням „Символическая логика” Ч. Доджсона (рос. мовою), С. 294-304).

(21) Вселенная – «живые существа», a = морские свинки, b = безнадежно невежественные в музыке, c = соблюдающие тишину во время исполнения «Лунной сонаты», d = действительно ценящие Бетховена.

1. Никто из тех, кто действительно ценит Бетховена, не станет шуметь во время исполнения «Лунной сонаты».

2. Морские свинки безнадежно невежественны в музыке.

3. Те, кто безнадежно невежествен в музыке, не станут соблюдать тишину во время исполнения «лунной сонаты».

(33) Вселенная – «птицы», a = находящиеся в этом птичнике, b = питающиеся пирогами с начинкой, c = мои, d = 9 футов роста, e = страусы.

1. Ни одна птица, кроме страуса, не достигает 9 футов роста.

2. В этом птичнике нет птиц, которые принадлежали бы кому-нибудь, кроме меня.

3. Ни один страус не питается пирогами с начинкой.

4. У меня нет птиц, которые достигали бы 9 футов роста.

(37) Вселенная – «котята», a = с зелеными глазами, b = любящие рыбу, c = с хвостами, d = поддающиеся дрессировке, e = с усами, f = котята, которые станут играть с гориллой.

1. Котенок, который любит рыбу, поддается дрессировке.

2. Котенок без хвоста не станет играть с гориллой.

3. Котята с усами всегда любят рыбу.

4. У котенка, поддающегося дрессировке, не бывает зеленых глаз.

5. Если у котенка нет хвоста, то у него нет и усов.

(42) Вселенная – «логические задачи, которые я решаю», a = задачи, в которых посылки расположены в привычном мне порядке, b = легкие, c = задачи, на которые я ворчу, d = вызывающие у меня головную боль, e = эти сориты, h= понятные мне задачи.

1. Если я решаю логическую задачу без ворчанья, то можно быть уверенным, что она мне понятна.

2. Посылки в этих соритах расположены не в том порядке, как в известных мне задачах.

3. Ни одна легкая задача не вызывает у меня головной боли.

4. Я не могу понять задач, в которых посылки расположены не в том порядке, к которому я привык.

5. Я никогда не ворчу на задачу, если от нее у меня не болит голова.

(49) Вселенная – «дни», a = дни, которые я называю счастливыми, b = пасмурные, c = дни, когда люди берут с собой зонты, d = дни, когда Робинсон вежлив со мной, e = дождливые, f = дни, которые оказываются солнечными, k = среды.

1. Я не называю день «несчастливым», если Робинсон вежлив со мной.

2. Среды всегда бывают пасмурными днями.

3. Если люди берут с собой зонты, день никогда не бывает солнечным.

4. Единственный день недели, когда Робинсон невежлив со мной, - среда.

5. Всякий возьмет с собой зонт, если идет дождь.

6. Мои «счастливые» дни неизменно оказываются солнечными.

А тепер спробуйте вирішити кілька соритів Ч. Доджсона в оригіналі, звертаючи увагу на структуру заперечного судження, характерну для англійської мови, та самостійно визначаючи перемінні і всесвіт.

As a teacher of logic and a lover of nonsense, Carroll designed entertaining puzzles to train people in systematic reasoning. In these puzzles he strings together a list of implications, purposefully inane so that the reader is not influenced by any preconceived opinions. The job is to use all the listed implications to arrive at an inescapable conclusion.

1. My saucepans are the only things I have that are made of tin.

I find all your presents very useful.

None of my saucepans are of the slightest use.

2. No potatoes of mine, that are new, have been boiled.

All my potatoes in this dish are fit to eat.

No unboiled potatoes of mine are fit to eat.

3. No ducks waltz.

No officers ever decline to waltz.

All my poultry are ducks.

4. Every one who is sane can do Logic.

No lunatics are fit to serve on a jury.

None of your sons can do logic.

5. No experienced person is incompetent.

Jenkins is always blundering.

No competent person is always blundering.

6. All puddings are nice.

This dish is a pudding.

No nice things are wholesome

7. No one takes in the Times, unless he is well educated.

No hedgehogs can read.

Those who cannot read are not well educated.

8. All the old articles in this cupboard are cracked.

No jug in this cupboard is new.

Nothing in this cupboard, that is cracked, will hold water.

9. All my sons are slim.

No child of mine is healthy who takes no exercise.

All gluttons, who are children of mine, are fat.

No daughter of mine takes any exercise.

10. The only articles of food, that my doctor allows me, are such as are not very rich.

Nothing that agrees with me is unsuitable for supper.

Wedding cake is always very rich.

My doctor allows me all articles of food that are suitable for supper.

11. I despise anything that cannot be used as a bridge.

Everything, that is worth writing an ode to, would be a welcome gift to me.

A rainbow will not bear the weight of a wheelbarrow.

Whatever can be used as a bridge will bear the weight of a wheelbarrow.

I would not take, as a gift, a thing that I despise.

12. The only animals in this house are cats.

Every animal is suitable for a pet, that loves to gaze at the moon.

When I detest an animal, I avoid it.

No animals are carnivorous, unless they prowl at night.

No cat fails to kill mice.

No animals ever take to me, except what are in this house.

Kangaroos are not suitable for pets.

None but carnivora kill mice.

I detest animals that do not take to me.

Animals, that prowl at night, always love to gaze at the moon.