1.2. О теореме Пифагора, ее истории и доказательствах.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала не так как сегодня, а именно:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

В

Рис.5

ероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (см.рис.5). Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Учащиеся средних веков при изучении теоремы придумывали стишки, рисовали шаржи (см.рис.6,7,8), например, такие:

1. стихи - «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

2. шаржи —

Рис.6

Рис.8

Рис.7.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более 500 (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) и общепринятая формулировка теоремы такова: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Глава II. Приложения теоремы Пифагора/

Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности и свидетельствует о её широком применении. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

На сегодняшний день существует несколько интересных приложений теоремы Пифагора, которые встречаются во многих учебниках геометрии.

2 .1 Теорема о гиппократовых луночках.

П

Рис.9.

редложение в том виде, в каком оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гиппократа, который нашёл квадратуру только для некоторых луночек Данную теорему доказал араб Ибн Альхаитам, французские математики А. де Лион и Г. Парди высказали её вновь в 1654 и в 1671 гг.

Теорема: Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то площадь полукруга, построенного на гипотенузе, будет равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах этого прямоугольного треугольника (см. рис. 9).

Дано: прямоугольный треугольник; полуокружность

Доказать: вершина треугольника принадлежит полуокружности

Доказательство:

1)Пусть Sа, Sb и Sс - площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе.

2)Согласно следующей теореме о подобных фигурах, построенных на сторонах прямоугольного треугольника: «Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Sа, Sb, Sс, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство»:

Sа + Sb = Sс.

3)Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства:

с² = а² + b² на π/8. В самом деле, равенство

π*с/8 = π*а/8 + π*b/8

означает, что площадь полукруга с диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами а и b.

Если мы отнимем одни и те же части (на рисунке они не закрашены) как от полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

2.2. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Дано: параллелограмм АВСD со сторонами а,b и диагоналями с,d. рис. 10). Доказать: с² + d² = 2а² + 2b²

B1

Рис.10

В b D C1

Доказательство:

1. Построим высоты: ВВ1,СС1 и рассмотрим треугольник ВB1D, тогда по теореме Пифагора: ВВ1²+В1D² = с² = (а² - АВ1²) + (b-АВ1) ² =

= а² - АВ1² + b² - 2bАВ1+АЙ1² = а²+b² -2bАВ1.

2. Рассмотрим треугольник АСС1, тогда по теореме Пифагора: СС1² +АС1² = =d² =(а² – DC1² ) + (b + DC1) ² = а² – DC1² + b² + 2bDC1 +DС1² = a² + b² + 2bDC1

3. с² + d² = а²+b² – 2bАВ1+ а²+b²+2bDС1= 2а²+2b² – 2bAВ1+2bAВ1=2а²+2b² ,

что и требовалось доказать.

2.3. Длина медианы треугольника.

Дано: треугольник АВС со сторонами а,b,n и медианой m (см. рис. 11).

Доказать: m² = ¼ ( 2а² + 2b² - n²)

Доказательство:

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСD, на основании равенства параллелограмма

4

Рис.11.

m² + n² = 2а² + 2b² → m² =1/4 (2а² + 2b² - n²),

что и требовалось доказать.