МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №91 С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ
ЛЕНИНСКОГО РАЙОНА ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА
Научное общество учащихся
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Работу выполнил:
ученик 9 Г1 класса
Манкеров Александр Сергеевич
Руководитель:
Ларькина Галина Александровна
Учитель математики
Нижний Новгород
2009
Пифагор VI в. до н.э.
Содержание.
Введение |
Стр. |
|
|
Глава I. Пифагор и его теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
Глава II. Приложения теоремы Пифагора. |
|
2.1 Теорема о гиппократовых луночках. |
|
2.2. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. |
|
2.3 Длина медианы треугольника. |
|
2.4 Решение задач. |
|
|
|
Заключение. |
|
Список литературы. |
|
Приложения. |
|
Введение.
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н.э.), и в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII в. до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.— и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII — V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»),— несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется.
Теорема Пифагора является одной из главных теорем геометрии, её изюминкой, но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных применений.
Интересна для изучения именно эта тема, так как многие слышали о теореме Пифагора, но немногие знают об интересных и полезных приложениях основанных на ней. Поэтому цель моей работы – показать именно приложения и различные применения теоремы Пифагора.
В первой части моей работы рассмотрен исторический материал, связанный с именем Пифагора, а также рассмотрены некоторые способы ее доказательства, интересна история самой теоремы. Во второй главе будут приведены примеры приложений и применений теоремы Пифагора, решены интересные задачи практического содержания.
Глава I. Пифагор и его теорема.
1.1. Краткая биография Пифагора
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.
Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги — в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.
Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.
Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.
Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В одной из греческих колоний Южной Италии, в городе Кротоне, Пифагор основал свою школу.
Школа Пифагора являлась тайным союзом молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками.
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
теорема о сумме внутренних углов треугольника;
построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
геометрические способы решения квадратных уравнений;
деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
доказательство того, что
не является рациональным числом;создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.
Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.
После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.
Союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма — пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.
У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст» описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался (см. рис. 1).
Рис.1
Фауст: Не пентаграмма ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?
Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, -и я свободно мог вскочить.
Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72 градуса. Именно этот тип симметрии наиболее распространён в живой природе: у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (см. рис.2), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (см. рис.3) и панциря морского ежа.
Рис.2
Рис.3