3. Построить систему нормальных уравнений и рассчитать константы прогнозирующей функции

3а) Решим систему нормальных уравнений для линейного тренда =a+b* t.

линейная функция
Условные месяцы t	Объем продаж	Скользящие средние	yt*t	yt линейн
1	25		25	21,511
2	37	31,3	74	28,812
3	32	39	96	36,113
4	48	38,3	192	43,414
5	35	45,3	175	50,715
6	53	53,3	318	58,016
7	72	63,3	504	65,317
8	65	73,3	520	72,618
9	83	81	747	79,919
10	95	88,3	950	87,22
11	87	96,7	957	94,521
12	108		1296	101,822
78	740		5854	739,998

Линейный тренд — = a + b* t ,

Система нормальных уравнений:

 y_t = an + b t

 y_t t = a t + b t²

Сомножитель n в первом уравнении системы характеризует объем выборочной совокупности (n = 12).

Таким образом:

 t = 78;  t² = 650;  y_t =740;  y_t t =5854.

Подставим полученные результаты в систему

740 =12a +78b; 900,615=12a +100b

5854= 78a + 650b/ 6,5 - 740=12a + 78b

160,615 = 22b

Решив систему, найдем константы прогнозирующей функции:

b = 160,615 = 7,301

22

a =740 – 78*7,301 = 14,210

12

= a + b* t

= 174,91 + 14,321*t

yt1 = 14,210 + 7,301*1 = 21,511

yt2 = 14,210 + 7,301*2 =28,812

yt3 = 14,210 + 7,301*3 =36,113

yt4 = 14,210 + 7,301*4 =43,414

yt5 = 14,210 + 7,301*5 = 50,715

yt6 = 14,210 + 7,301*6 =58,016

yt7 = 14,210 + 7,301*7 =65,317

yt8 = 14,210 + 7,301*8 =72,618

yt9 = 14,210 + 7,301*9 = 79,919

yt10 = 14,210 + 7,301*10 =87,22

yt11 = 14,210 + 7,301*11 =94,521

yt12 = 14,210 + 7,301*12 =101,822

3б) Построить систему нормальных уравнений и рассчитать параметры a и b для экспоненциального тренда (для прогнозирующей функции).

Определим параметры a и b для экспоненциального тренда y_t= a e^bt .

Необходимо сделать замену переменных:

lny_t=lna+bt;

lny_t=y_t^’;

lna =a^’;

Линеаризованное уравнение

y_t¹= a₁ +b t

экспоненциальная функция
Условные месяцы t	Объем продаж	Скользящие средние	lnyt	lnyt*t	b*t	a*EXP(bt)
1	25		3,22	3,22	0,127	27,748
2	37	31,3	3,61	7,22	0,254	31,512
3	32	39	3,47	10,41	0,381	35,766
4	48	38,3	3,87	15,48	0,508	40,606
5	35	45,3	3,56	17,8	0,635	46,131
6	53	53,3	3,97	23,82	0,762	52,365
7	72	63,3	4,28	29,96	0,889	59,455
8	65	73,3	4,17	33,36	1,016	67,522
9	83	81	4,42	39,78	1,143	76,665
10	95	88,3	4,55	45,5	1,27	87,031
11	87	96,7	4,47	49,17	1,397	98,84
12	108		4,68	56,16	1,524	112,211
78	740		48,26418	331,88	9,906	735,852

Система нормальных уравнений:

 lnyt = a₁ n + b t

 lnyt* t = a₁ t + b t²

Таким образом:

 lnyt = 48,26418;  t = 78;  lny_t *t =331,88;  t² = 650 .

Подставим полученные результаты в систему

48,26418=12a +78b; 51,06=12a +100b

331,88 = 78a + 650b/ 6,5 - 48,26418=12a + 78b

2,79582 = 22b

Решив систему, найдем константы прогнозирующей функции:

b = 2,79582 = 0,127

22

a1 =48,26418– 78*0,127= 48,26418– 9,906 = 3,1965

12 12

y_t= a e^bt

a = EXP(a1) = EXP (3,1965) = 24,447

y_t = a*EXP(bt)

Подставляем:

yt1 = 24,447*EXP(0,127) =27,748

yt2 = 24,447*EXP(0,254) = 31,512

yt3 = 24,447*EXP(0,381) =35,766

yt4 = 24,447*EXP(0,508) =40,606

yt5 = 24,447*EXP(0,635) =46,131

yt6 = 24,447*EXP(0,762) =52,365

yt7 = 24,447*EXP(0,889) =59,455

yt8 = 24,447*EXP(1,016) =67,522

yt9 = 24,447*EXP(1,143) =76,665

yt10 = 24,447*EXP(1,27) =87,031

yt11 = 24,447*EXP(1,397) =98,84

yt12 = 24,447*EXP(1,524) =112,211