8. Вероятностное описание случайной погрешности

Иннегральная функция F(Х) – ф, каж значение кот. является вероятностью события, состоящего в том, что случайная величина Хi в i-ом опыте принимает значение <Х

F(Х)=Р{Х, <Х }= Р{-оо<Х, <=Х }. График интегральной ф-ии распределения на рис. 1,а. Ф-я имеет следующие свойства:

1. неотрицательная

2. неубывающая

3. диапазон ее измерения F(-оо)=0, F(+оо)=1

4. вероятность нах-я случ величины Х в диапазоне от Х1 до Х2: Р{Х1<Х<Х2}= F(Х2)- F(Х1).

Более наглядным явл-ся описание свойств результатов изм-я и случ. погрешностей с пом диф-я ф-ии распределения, т.е. плотностью распределения вероятностей, Р(Х)=dF(X)/dX. Она подчиняется условию нормирования:

∫Р(Х)* dX=1, (-оо;+оо)

Р{Х1<Х<Х2}=∫Р(Х)*dX, (Х1;Х2), т.е. вероятность попадания случ величины в (Х1;Х2) равна площади Р(Х) , ограниченная Х1 и Х2.

Для суммы непрерывных случ величин Х1 и Х2, имеющих распределение Р1 и Р2, суммарный закон распределения погрешностей наз композицией (рис.). Условие: S ограниченной плотности вероятности равнв 1.

9. Методика статистической обработки результатов наблюдений.

1. N – наблюдения равноточные, т.е. выполняются др. экспериментатором в одних и тех же условиях. Проводят N измерений и получают Х'1, Х'2.. Х'i… Х'n.

2. Исключают известные сист погрешности и получают исправленный результат Х1, Х2, Хi…Xn.

3. Находят среднеарифметическое исправленных рез-ов:

Хср=∑ Хi /N и принимают Хср за результат измер-я.

4. Вычисляют СКО рез-в наблюдения:

А) находят отклонение ρ от среднеарифметического:

ρn=Хn-Хсрn;

Б) проверяют правильность расчетов ∑ρì=0

В) вычисляют квадраты отклонений ρn²

Г) опр-ют оценку СКО: δсрn=корень(∑ρì²/N-1)

Д) находят знач-е относительной среднекв погрешности:

δn= δсрn/Хср

5. Вычисл-ют оценку среднеквадратичного отклонения:

δрnср= δсрn/√N.

6. Проверяют гипотезу о том, что распределение результатов нормальное – Гауссово.

7. Выч-ют доверительные границы случайной погрешности:

- задоются доверительной вероятностью Рд;

- по табл. определяют коэф. В (бетта), согл вероятности.

- находят знач точности оценки: ε=В*δрnср

- находят довер-е границы: (Хср- ε; Хср+ε)

- определяют доверит интервал: γ=2* ε

8. записывают рез-тат измерения: R=Rср± ε, Рд=…

10. Суммирование погрешностей.

Si - систематическая погрешность. Если они известны, то их суммируют алгеб-ки с учетом знаков: S_∑=∑Si

Из Th вер-ти дисперсия суммы 2-х случайных величин:

δ_∑=√( δ₁²+2*к*δ₁*δ₂+δ₂² ), к – коэф корреляции (связи) случ величин. На практике рассматривают два случая: к=0,

к=±1. При к=0 погреш-ти некоррелируемы и суммируются геометрически, δi – среднеквадратичная оценка погрешности, обуслов-ой i-ым источником: δ_∑=√∑δi²

При к=±1 погрешность сильно(жестко) коррелированна и сум-ся след образом:

1. если данная причина вызывает в различных узлах прибора изменение погрешности в одном направлении, то погрешности складываются;

2. если же изменения противоположны, то погрешности вычитают.

Суммирование случайных и системных погрешностей

ГОСТ-8.307-76 производить:

Если граница неискл систем погрешности θ и оценка СКО связаны соотношением θ < 0,8*σ то принибрегают систем, считают только случ составляющюю, при этом доверительные границы ∆=t_P*σ .

Если θ > 0,8*σ, то принибрегают случайной, и рез-тат хар-ся лишь границами его сум-ой систем сост-щей.

Если оба неравенства не вып-ся, то границы сум погрешности находят путем композиции распределения случайных и систем. погрешностей.

На рис. 1 показано истинное значение измер. величины Хn, граница систем погрешности θ, распределение случ сост погрешности р(Х). Если систем-я составляющая постоянна, то ее модуль / θ / должен суммироваться доверительным интервалом случайной составляющей t_P*σ, а не среднеквадратическим отклонением. На рис А показано, когда нельзя пренебречь ни одной из составляющих.

На рис Б дов интервал случ состав-ей примерно в 2 раза > интервала систематической, последней можно пренебречь. На рис В систематическая > дов инт-ла случ в 5 раз, последнюю не учитываем.

11. Критерий ничтожно малой погрешности. Один из возможных вариантов опред-я ничтожно малой погрешности состоит в том, что если одна величина больше др. на порядок, то ею можно пренебречь. При сложении неколлерируемых случ сост-х суммируются их СКО. В случае 2-х составляющих: σ(∆)=√(σ²(∆1)+σ²(∆2)). Дл σ(∆1)>√10* σ(∆2)=3* σ(∆2),таким образом погрешностью можно пренебречь, если ее СКО или дов интервал меньше, чем у оставляемой погрешности.