Метод северо-западного угла (сзу)

Рассмотрим шаги получения начального базисного решения.

1 шаг. Выделяется крайняя левая верхняя ячейка матрицы планирования (ячейка, расположенная на северо-западе).

2 шаг. В выбранную ячейку вводится условная поставка, равная найменьшему из значений спроса и предложения.

3 шаг. Вычеркивается строка или столбец с полностью удовлетворенным спросом или реализованным предложением. В случае, если в ячейке (i, j) значение спроса равно значению предложения, то вычеркивается на выбор строка или столбец.

4 шаг. В оставшейся матрице снова выбирается крайняя левая верхняя ячейка, и повторяются шаги 2-4.

5 шаг. Если остается не вычеркнутым только одна строка или один столбец, процесс останавливается.

Метод наименьшей стоимости

Алгоритм получения начального базисного решения

1 шаг. В матрице выбирается ячейка с наименьшей стоимостью поставки единицы груза. В случае, если несколько ячеек имеют минимальное значение, то выбирается любая.

2 шаг. В выбранную ячейку вводится максимально возможная условная поставка, реализующая предложение или спрос.

3 шаг. Вычеркивается соответствующая строка или столбец с реализованным спросом или предложением в соответствии заданными ограничениями. Если в выбранной ячейке (i,j) спрос равен предложению, то вычеркивается на выбор строка или столбец.

4 шаг. В оставшейся матрице выбирают ячейку с меньшей стоимостью поставки единицы груза и повторяют шаги 2-4.

5 шаг. В случае полной реализации спроса и предложения процесс останавливают.

Задание I этапа лабораторной работы

Три распределительных центра снабжают продукцией пять сетевых магазинов, потребность которых в ежедневных поставках товара составляет 15+(№п/п в журнале)т., 10+(№п/п в журнале)т., 25+(№п/п в журнале)т., 30+(№п/п в журнале)т. по 20+(№п/п в журнале) т. соответственно. Каждый распределительный центр может осуществлять ежедневные поставки товаров в количестве 30+(№п/п в журнале)т., по 20+(№п/п в журнале)т. и 50+(№п/п в журнале)т. соответственно. Стоимость перевозки единицы (тонны) груза от поставщиков в магазины представлена в виде матрицы. Необходимо распределить поставки товаров из распределительных центров в магазины с наименьшими затратами. Решить задачу методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости.

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5
Распределительный центр 1 (РЦ 1)	4	5	1	3	4
Распределительный центр 2 (РЦ 2)	2	6	4	7	5
Распределительный центр 3 (РЦ 3)	3	4	2	5	2

Алгоритм подготовки отчета I этапа лабораторной работы:

1. Решить задачу методом северо-западного угла.

1.1. Первоначально определим сбалансированность данной задачи. Если суммарный спрос равен суммарному предложению, то задача сбалансирована.

1.2. Введем условную поставку 15 т, удовлетворяющую потребность первого магазина в товаре. Предложение первого распределительного центра в данном случае уменьшится на 15 т. Первый столбец из дальнейшего рассмотрения исключаем. Заполняем таблицу 2.1.1.

Таблица 2.1.1

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Предложение
(РЦ 1)	4 15	5	1	3	4	[30+(№п/п в журнале)] (15)
(РЦ 2)	2	6	4	7	5	20
(РЦ 3)	3	4	2	5	2	50
Спрос	15 (15)	10	25	30+(№п/п в журнале)	20

В оставшейся матрице выбираем крайнюю верхнюю левую ячейку (1,2) и полностью удовлетворяем потребность второго магазина в товаре. Алгоритм аналогично п.1.2. Аналогично ячейка (1,3), (2,3), (2,4), (3,5). Количество поставок в базисном решении для данной задачи равно 7, что соответствует числу независимых ограничений (m + n – 1).

0. Определяем суммарные затраты на транспортировку 100 т. товаров от трех распределительных центров в пять сетевых магазинов.

2. Решаем задачу методом наименьшей стоимости.

2.1. В матрице выберем ячейку с наименьшей стоимостью поставки единицы (тонны) груза и введем условную поставку, удовлетворив тем самым спрос Магазина 3 (табл. 2.1.2). Столбец из дальнейшего рассмотрения вычеркиваем.

Таблица 2.1.2.

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Предложение
РЦ 1	4	5	1 25	3	4	30+(№п/п в журнале) (25)
РЦ 2	2	6	4	7	5	20
РЦ 3	3	4	2	5	2	50
Спрос	15	10	25 (25)	30+(№п/п в журнале)	20

0. В оставшейся матрице выбираем ячейку с наименьшей стоимостью поставки единицы груза и повторяем алгоритм. Количество поставок в базисном решении равно 7, что соответствует числу независимых ограничений (m + n – 1).

1. Рассчитываем суммарные затраты на транспортировку 100 т. товаров от трех распределительных центров в пять сетевых магазинов для определения первоначального решения по методу наименьшей стоимости.

3. Анализируем результаты, полученные от решения транспортной задачи разными способами.

Второй этап работы заключается в оптимизации первоначального решения транспортной задачи, построении оптимального плана распределительным методом и нахождении оптимального плана перевозок.

Распределительный метод применяется для нахождения оптимального решения транспортной задачи, для которой ранее найдено первоначальное решение (опорный план перевозок с числом занятых клеток m + n – 1). Этот метод основан на последовательном рассмотрении пустых ячеек первоначального решения и возможном введении в них поставок.

Порядок действий опишем в виде алгоритма.

1 шаг. Выбирается любая пустая ячейка в опорном плане перевозок.

2 шаг. С помощью горизонтальных и вертикальных линий строится замкнутый контур, исходящий из выбранной ячейки, который проходит через ячейки-клетки, содержащие поставки и завершающийся в выбранной ячейке. При этом любая из клеток контура имеет ровно одного соседа-клетку контура в своей строке и ровно одного соседа-клетку контура в своем столбце (в любой клетке контура сходятся горизонтальная и вертикальная линии). Такой замкнутый контур всегда можно построить (и притом только один!) с началом в любой выбранной пустой ячейке.

3 шаг. Обозначить угол полученной замкнутой ломаной линии (контура) в свободной клетке знаком (+), а последующие углы попеременно знаками (-) и (+).

4 шаг. Определить алгебраическую сумму стоимостей поставок для ячеек, через которые проведен контур с учетом знаков, которыми они помечены.

5 шаг. Если полученная сумма положительна или равна нулю, то выбирают следующую ячейку и повторяют шаги 2–4.

6 шаг. Если полученная сумма меньше нуля, то в пустую ячейку вводят поставку, равную минимальному из значений поставок, находящихся в ячейках, обозначенных знаком (-).

7 шаг. В других углах построенного контура поставки пересчитываются следующим образом: для ячеек, обозначенных знаком (+), размер вводимой в пустую ячейку поставки прибавляется к имеющимся в них базовым поставкам; для ячеек, обозначенных знаком (-), вводимая поставка вычитается из соответствующих базовых поставок. В результате пересчета (перераспределения груза) по крайней мере, одна из клеток, помеченная знаком (-), получит нулевую перевозку (поставку). Эту клетку следует вывести из системы поставок (из плана перевозок). Если клеток, получивших в результате пересчета нулевую перевозку, несколько, из системы поставок выводят одну – ту, которой соответствует максимальное значение стоимости перевозки единицы груза.

8 шаг. В результате выполнения шагов 6 и 7 получена новая система поставок – новый опорный план перевозок, в котором число занятых клеток опять m + n – 1. Для этого плана определяются суммарные затраты на транспортировку груза.

9 шаг. Выбираем следующую пустую ячейку в первоначальном решении и повторяем шаги 2–8.

10 шаг. Процесс считается завершенным, когда полученные на шаге 4 суммы для всех свободных ячеек будут положительными.