Информационная структура задачи
Входные данные:
n – количество уравнений – целое число от 1 до 255;
A – двумерный массив с матрицей – 255x255 вещественных чисел.
B – одномерный массив с вектором свободных членов – 255 вещественных чисел.
Промежуточные данные:
ECode – код ошибки для хранения информации о том, что система имеет решение, несовместна или неопределённа – целое число.
Выходные данные:
X – одномерный массив с вектором решений – 255 вещественных чисел.
Разработка алгоритма программы решения слау
Для получения результата программа должна выполнять следующую последовательность действий: Ввод размеров матрицы, ввод матрицы A, ввод вектора свободных членов B, решение системы, вывод результата: X или сообщения в зависимости от значения ECode. Матрица должна быть квадратной.
Для решения используем метод Гаусса – универсальный, точный, хорошо исследованный и простой для понимания. СЛАУ имеет единственное решение, если ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной, иначе система является неопределённой и имеет бесконечное множество решений или несовместной и не имеет решений в действительных числах. В процессе решения определяется либо решение системы, либо причина того, почему решение не может быть получено. В соответствии с принципом нисходящего структурного программирования представим эти действия на схеме алгоритма в виде последовательности подпрограмм.
В процедуре ввода главной матрицы: входные параметры задают размеры матрицы и область ввода, возвращаемые данные – главная матрица вещественного типа двойной точности.
В процедуре ввода вектора свободных членов: входные параметры задают размеры вектора и область ввода, возвращаемые данные – вектор свободных членов вещественного типа двойной точности.
В процедуре решения СЛАУ: входные параметры – главная матрица, вектор свободных членов и их размер, возвращаемые данные – вектор решения и код ошибки. Определим следующие коды ошибок: 0 – нет ошибок, 1 – система неопределённа, 2 – система несовместна. Если код ошибки не равен нулю, вектор решения не определён.
В процедуре вывода вектора решения входными параметрами являются вектор решения, размеры вектора и координаты области вывода.
Рисунок 18. Схема алгоритма программы решения СЛАУ
Разработка исходного текста программы
Sub SolveSystem()
Dim A(1 To 255, 1 To 255) As Double, B(1 To 255) As Double
Dim X(1 To 255) As Double, n As Long, ECode As Byte
n = CLng(Cells(1, 1)) 'Ввод количества уравнений
InputDMas A,n,n,2,1 'Ввод главной матрицы
InputDCol B,n,2,n+2 'Ввод вектора свободных членов
GaussSolve A,B,X,n,ECode 'Решение СЛАУ
Select Case ECode 'Анализ кода ошибки
Case 0: 'Нет ошибки
OutputDRow X,n,n+3,1 'Вывод вектора решения
Case 1: 'Система неопределённа
Cells(n + 3, 1) = "Система неопределённа"
Case 2: 'Система несовместна
Cells(n + 3, 1) = "Система несовместна"
End Select
End Sub
Процедура ввода главной матрицы
Процедура InputDMas отличается от описанной ранее InputMas тем, что в InputDMas определён тип элементов массива – Double.
Информационная структура
Входные и локальные данные совпадают с данными InputMas.
Выходные данные
A – двумерный массив с матрицей – mxn типа Double.
Разработка алгоритма
Алгоритм процедуры InputDMas совпадает с алгоритмом InputMas (Рисунок 4).
Разработка исходного текста процедуры
Sub InputDMas(A() As Double, m As Long, n As Long, r As Long, c As Long)
Dim i As Long, j As Long
For i = 1 To m 'строки i от 1 до m
For j = 1 To n 'столбцы j от 1 до n
A(i,j)=CDbl(Cells(i+r-1,j+c-1)) 'ввод с конвертацией в Double
Next j 'конец цикла по j
Next i 'конец цикла по i
End Sub
Процедура ввода вектора свободных членов.
Вектор свободных членов формируется в виде столбца.
Информационная структура
Входные данные
n – количество уравнений – целое число >0;
r – начальная строка ввода на листе Excel – целое число >0;
с – начальный столбец ввода на листе Excel – целое число >0;
Локальные данные
i – номер элемента вектора – целое число от 1 до n;
Выходные данные
A – одномерный массив с вектором – n чисел типа Double.
Разработка алгоритма
Рисунок 19. Схема алгоритма ввода вектора свободных членов
Разработка исходного текста процедуры
Sub InputDCol(A() As Double, n As Long, r As Long, c As Long)
Dim i As Long
For i = 1 To n 'по строкам i от 1 до n
A(i)=CDbl(Cells(i+r-1,с)) 'ввод с преобразованием в Double
Next i 'конец цикла по i
End Sub
Процедура решения СЛАУ.
Решение СЛАУ методом Гаусса выполняется в два этапа: прямой ход, состоящий в преобразовании главной матрицы в верхнетреугольную, и обратный ход, на котором вычисляется результат.
В целях минимизации погрешностей, в прямой ход включают выбор главного элемента, состоящий в том, что среди элементов матрицы выбирают максимальный по модулю и перемещают его на главную диагональ в первую строку перестановкой строк и столбцов. Вместе с перестановкой строк главной матрицы переставляются элементы вектора свободных членов, а при перестановке столбцов главной матрицы изменяется порядок элементов вектора решений. Для учёта изменения порядка элементов вектора решений вводится массив XOrder, элементы которого представляют собой исходными порядковые номера элементов вектора решений и переставляются вместе с перестановкой столбцов при выборе главного элемента в процессе прямого хода. На первом этапе также выясняется, имеет ли система единственное решение, или она является неопределённой либо несовместной. По результатам этой проверки переменная с кодом ошибки принимает одно из обозначенных выше значений.