
- •Оглавление
- •3. Однофазные цепи синусоидального тока
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Изображение синусоидальных электродвижущих сил, токов и напряжений временными диаграммами
- •3.3. Изображения синусоидальных функций времени в векторной форме
- •3.4. Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме
- •3.5. Прохождение гармонического тока через резистор
- •3.6. Прохождение гармонического тока через катушку индуктивности.
- •3 .7. Прохождение гармонического тока через конденсатор
- •3.8. Закон Кирхгофа в комплексной форме.
- •3.9. Прохождение гармонического тока черезрезистор, катушку индуктивности и конденсатор, соединенные последовательно.
- •3.10. Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности, конденсатора в цепи гармонического напряжения
- •3.10. Мощность в цепи синусоидального тока
- •3.11. Баланс мощностей
- •3.12. Согласованный режим работы электрической цепи. Согласование нагрузки с источником
3 .7. Прохождение гармонического тока через конденсатор
Рассмотрим линейный конденсатор емкостью С (рис. 3.17), через который протекает ток i(t)=Imsin( t+i). Определим напряжение на конденсаторе. Связь между мгновенными значениями тока в конденсаторе и напряжения на нем определяется соотношением (2.4.6). Тогда
Дополнительный
угол
возник при переходе от косинусоидальной
функции к синусоидальной. Напряжение
на конденсаторе будем определять в виде
u(t)=Umsin(
t+ u).
Тогда
.
Перейдем к комплексным мгновенным значениям
или
Сокращая на оператор поворота ejwt и учитывая, что
,
получим
(*)
Легко видеть, что
величина
имеет размерность сопротивления – Ом..
Она называется комплексным сопротивлением
конденсатора
Выражение (*) –
закон Ома для конденсатора в комплексной
форме – можно записать в обобщенном
виде
или
Из соотношения
следует, что вектор напряжения на
конденсаторе отстает от вектора тока
в нем на
(так как
).
Векторная диаграмма тока и напряжения
на конденсаторе показана на
рис.
3.18. На рис. 3.19 показаны зависимости от
времени тока, напряжения и мгновенной
мощности (при y i=0)
.
Рис. 3.18 |
Рис. 3.19 |
Рис. 3.20 |
Сравнение графиков мгновенной мощности для резистора, катушки индуктивности и конденсатора показывает:
в резисторе мгновенная мощность всегда положительна, т.е. линейный резистор мощность потребляет;
в конденсаторе (рис. 3.19) и в катушке мгновенная мощность может быть положительной (реактивный элемент запасает энергию) и отрицательной (реактивный элемент отдает энергию во внешнюю цепь).
Рассмотрим
комплексное сопротивление конденсатора
Величина
называется емкостным сопротивлением
конденсатора. Зависимости емкостного
сопротивления от частоты w для двух
значений емкости показаны на рис. 3.20.
Емкостное сопротивление конденсатора
на постоянном токе (
)
равно бесконечности и уменьшается до
нуля с ростом частоты до бесконечности.
В табл. 3.2 приведена сводка основных соотношений, описывающих прохождение гармонического тока, через основные элементы цепи.
3.8. Закон Кирхгофа в комплексной форме.
1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Например, для некоторого узла
i1+i2+i3=0, (*)
где i1, i2, i3 – токи в ветвях. Пусть каждый ток изменяется по синусоидальному закону:
i1=Im1sin(ωt+ψ1); i2=Im2sin(ωt+ ψ2); i3=Im3sin(ω+ ψ3). (**)
Подставляя (**) в
(*) и переходя к комплексным мгновенным
значениям, получим
+
+
=0
Таблица 3.2
Соотношение |
Резистор |
Катушка индуктивности |
Конденсатор |
Комплексное сопротивление |
|
|
|
Реактивное сопротивление |
– |
|
|
Закон Ома |
|
|
|
Векторная диаграмма |
|
|
|
Сокращая это
уравнение на оператор поворота
и учитывая что амплитуды отдельных
токов равны
,
,
получим запись 1) для комплексных амплитуд
В общем случае, 1-й закон Кирхгофа для узла с n ветвями в комплексной форме имеет вид
.
В этом выражении токи, направленные к узлу, следует записать со знаком “плюс”, а направленные от узла – со знаком “минус” (или наоборот), а направление тока в ветви определяется произвольно.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно получить аналогично, записав все источники в ветвях в виде синусоидальных функций, напряжения на резисторах, на катушках индуктивности и на конденсаторах. Перейдя к комплексным мгновенным значениям и сократив уравнение на ejwt, получим
,
где
–
алгебраическая сумма комплексных ЭДС
источников напряжения. Со знаком плюс
записываются те из них, положительные
направления которых совпадают с выбранным
направлением обхода контура; ЭДС, имеющие
направления, противоположные обходу
контура, записываются со знаком минус;
–
падение напряжений
на комплексных сопротивлениях Zm
отдельных участков. Со знаком “плюс”
берутся те, для которых направление
тока совпадает с направлением обхода,
а со знаком “минус” – те, для которых
направление тока противоположно
направлению обхода контура.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.