УМК по ТВ и МС

Найти: 1) постоянные b и c; 2) плотность распределения вероятностей pξ(x). Решение. Для определения b и c воспользуемся свойствами 1) и 2) функции распределения. Т.к. случайная величина ξ задана на отрезке [−a, a], то должны

выполняться условия: F(−a) = 0 и F (a) =1. В данном случае

F(−a) = b +c arctg(−1) = b −c π4 = 0, F(a) = b +c arctg1 = b +c π4 =1.

В результате получаем систему двух уравнений с неизвестными b и c:

b − π4 c = 0,b + π c =1,4

Найти функцию распределения Fξ(x).

Решение. Если x ≤ π/4, то pξ(x) = 0, следовательно,

Если π/4 ≤ x ≤ π/2, то Fξ (x) = ∫ 0 dt + ∫2sin 2tdt = −cos2x .

−∞ π/ 4

51

Итак, случайная величина ξ имеет следующую функцию распределения:

3.4. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины

Определение 3.8. Математическим ожиданием абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью pξ(x) назовем число

−∞

По определению, математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда интеграл (3.3) сходится абсолютно. Формула (3.3) аналогична формуле (2.2) для дискретных случайных величин.

Предложение 3.2. Пусть g : R → R − некоторая функция. Имеет место

∞

формула: M[g(ξ)] = ∫g(x) pξ (x)dx . Математическое ожидание M[g(ξ)] сущест-

−∞

вует тогда и только тогда, когда этот интеграл сходится абсолютно. #

∞

В частности, M [ξ2 ] = ∫x2 pξ (x)dx , а дисперсия равна

−∞

D[ξ] = M [ξ − M[ξ]]2 = ∞∫(x − M[ξ])2 pξ (x)dx , или, учитывая замечание 2.4,

52

Решение.

+∞

М[ξ] = ∫ xλe−λx dx =[ u = x, du = dx, dv = λe−λxdx, v = ∫ λe−λx dx = −e−λx ] =

Аналогично находим D[ξ] =1λ2 .

Можно показать, что для случайной величины ξ, распределенной по нормальному закону N (a, σ2 ) , M [ξ] = a , D[ξ] = σ2 .

Математическое ожидание и дисперсия являются важнейшими числовыми характеристиками случайных величин. Однако они хотя и являются самыми важными, но далеко не исчерпывают всего набора употребимых числовых характеристик случайной величины. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что строго возрастающая функция F(t) есть функция распределения некоторой непрерывной случайной величины ξ (рис. 3.3). В дальнейшем α − число между 0 и 1.

Определение 3.9. Квантилью уровня α для распределения, порождаемого функцией Fξ(t), называется число kα, являющееся решением уравнения

Fξ (kα ) = P{ξ < kα} = α ,

53

т.е. kα = F −1 (α) , где F −1 : (0,1) → R − функция, обратная к функции F.

Рис. 3.3.

Замечание 3.4. Квантили часто называют также процентными точками распределения. Под 100α%−ной точкой k100α% подразумевается квантиль k1–α, т.е. такое значение случайной величины ξ, при котором P{ξ ≥ k1−α} = α .

Квантиль k0,5 случайной величины ξ называется медианой Me[ξ]. Она используется в качестве показателя центра группирования наряду с математическим ожиданием. Для абсолютно непрерывных случайных величин медиана – это граница, левее и правее которой находятся значения случайной величины с вероятностями, равными 0,5.

Для дискретных случайных величин медиана находится на отрезке, который определяется из условий: ∑li=1 pi ≤ 0,5, ∑li=+11 pi > 0,5.

Чаще всего пользуются, кроме медианы k0,5, квантилями k0,25 и k0,75, которые называются квартилями.

Предложение 3.3. Предположим, что ξ − абсолютно непрерывная случайная величина с четной плотностью p(x), то есть x R p(x) = p(−x) . Тогда

1)t R F (t) + F (−t) =1,

2)α (0,1) kα = −k1−α .

Доказательство. Для определенности считаем, что t ≥ 0. Производя замену переменных в интеграле и пользуясь четностью плотности, получим цепочку равенств

= P{ξ ≥ t} =1 − P{ξ ≤ t} =1 − F (t) .

Первая часть предложения доказана, вторая вытекает из первой.

Если функция распределения F(t) удовлетворяет тождеству F(t) + F(−t) =1, то соответствующее ей распределение называется симметричным.

Для абсолютно непрерывных распределений в качестве числовой характеристики используют моду. Модой называется точка локального максимума

54

функции плотности. Мода случайной величины ξ обозначается Mo[ξ]. Распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными, несколько – полимодальными.

Замечание 3.5. Для нормального распределения Me[ξ] = Mo[ξ] = M[ξ].

Определение 3.10. Начальным моментом k−го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание k−й степени этой величины

νk [ξ] = νk = M[ξk ] .

Определение 3.11. Центральным моментом k−го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание k−й степени отклонения величины ξ от ее математического ожидания

µk [ξ] = µk = M[(ξ − M[ξ])k ].

Формулы для вычисления моментов для дискретных случайных величин (принимающих значения xi с вероятностями pi) и непрерывных (с плотностью вероятности pξ(x)) приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины ξ есть ее математическое ожидание, т.е. ν1 = M[ξ], а при k = 2 второй центральный момент – дисперсия, т.е. µ2 = D[ξ].

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

Определение 3.12. Коэффициентом асимметрии теоретического распре-

деления называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: β = µ3 σ3 .

55

Для симметричного распределения β (и µ3) равен нулю. При β < 0 распределение имеет левостороннюю асимметрию (средняя арифметическая меньше медианы), при β > 0 − правостороннюю (рис. 3.4,а).

Рис. 3.4. Зависимость формы плотности распределения вероятности от: а) коэффициента асимметрии; б) коэффициента эксцесса.

Определение 3.13. Коэффициентом эксцесса теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством γ = µ4 / σ4 − 3.

Распределение с более острой вершиной – с крутизной, большей, чем у нормального распределения, имеет γ > 0; распределение, более плоское, чем нормальное, имеет γ < 0. Зависимость формы плотности распределения от γ приведена на рис. 3.4,б.

Пример 3.9. Случайная величина ξ – годовой доход (в усл. ед.) наугад взятого лица, облагаемого налогом. Ее плотность распределения имеет вид

где a – неизвестный параметр.

Требуется: а) определить значение параметра a; б) найти функцию распределения Fξ(x); в) определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение; г) определить размер годового дохода xl, не ниже которого с вероятностью P = 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

56

x

Функция распределения Fξ (x) = ∫pξ (x)dx .

−∞

Для x < 5: Fξ(x) = 0, т.к. при x < 5 pξ(x) = 0.

Отсюда x1 =123,3351/ 2,1 =123,3350,476 ≈ 9,894 .

3.5. Нормальное распределение

Функция распределения стандартного нормального закона N(0, 1), ввиду ее важности имеет специальное обозначение:

Ее график (см. рис. 3.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Плот-

ность стандартного нормального закона обозначают как ϕ(x).

57

Положив в последней формуле δ = 3σ, получим

P{ξ − a < 3σ}= P(a − 3σ < a + 3σ) = 2Φ 3σσ = 2Φ(3) ≈ 2 0,49865 = 0,9973.

Вероятность в правой части, пренебрежимо мала для многих практических применений. Поэтому правило «трех сигм» читают так: нормальная случайная величина уклоняется от своего среднего не более чем на три корня из диспер-

сии. Как видно из (3.8), это правило ошибочно лишь в 0,27% случаев.

Пример 3.10. На станке изготовляются втулки, длина которых L представляет нормально распределенную случайную величину, причем М[L] = 20cм, σ = 0,2 см. Найти: 1) вероятность того, что длина втулки будет отклоняться от ее среднего значения на величину, меньшую 0,3 см; 2) длину втулки с вероятностью 0,95; 3) длину втулки с вероятностью 0,9973.

Решение. По условию a = 20см, σ = 0,2 см.

P{L − a < 0,3}= 2Φ 0,20,3 = 2Φ(1,5) ≈ 2 0,4332 = 0,8662 .

Пример 3.11. Фирма занимается выпуском фломастеров. Станок−автомат контролирует их диаметры Х, пропуская в упаковки фломастеры с диаметром 10 мм, допуская отклонение от стандарта 0,1 мм. В выпущенной партии было забраковано автоматом 0,27% фломастеров. Найти интервал, в котором заключены диаметры выпущенных фломастеров.

Решение. Известно, что средний размер диаметра фломастеров, т.е. M[Х] = а = 10, среднее квадратическое отклонение σ = 0,1. Вероятность выпуска не бракованных фломастеров составляет 99,73%, т.е. 0,9973.

Воспользуемся формулой: